【題目】如圖，是一個三棱錐，是圓的直徑，是圓上的點，垂直圓所在的平面，，分別是棱，的中點.

（1）求證：平面；

（2）若二面角是，，求與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）可證，，再利用可得，，從而可證平面.

（2）可證為二面角的平面角，再以為坐標原點，，，方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系. 求出平面的法向量和直線的方向向量后可求與平面所成角的正弦值.

（1）因為是圓的直徑，所以.

因為垂直圓所在的平面，且在該平面中，所以.

因為，分別是棱，的中點，

所以，所以，

又因為，所以有平面.

（2）由（1）可知，，，

所以為二面角的平面角，

從而有，則.

又，，得.

以為坐標原點，，，方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.

則，，，

，，，

，，

.

設是平面的法向量，則

即可取.

故.

所以直線與平面所成角的正弦值為.

練習冊系列答案
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【題目】在如圖所示的幾何體中，側面ABCD為矩形，側面DEFG為平行四邊形，AB＝1，AD＝2，AG∥BF，AB⊥BF，AG＝3,BF＝5，二面角D﹣AB﹣F的大小為60°.

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（2）求直線BE與平面ABCD所成角的大小

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【題目】已知函數(shù)在處的切線方程為.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）若關于的方程f（x）＝kex（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）恰有兩個不同的實根，求實數(shù)的值.

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【題目】某校將一次測試中高三年級學生的數(shù)學成績統(tǒng)計如下表所示，在參加測試的學生中任取1人，其成績不低于120分的概率為.

分數(shù)

頻數(shù)

40

50

70

60

80

50

（1）求的值；

（2）若按照分層抽樣的方法從成績在、的學生中抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人進行錯題分析，求這2人中至少有1人的分數(shù)在的概率.

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【題目】已知函數(shù)且a≠0）．

（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；

（2）若函數(shù)f（x）的極小值為，試求a的值．

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【題目】如圖，已知直三棱柱的底面是直角三角形，．

Ⅰ求證：平面；

Ⅱ求二面角的余弦值；

Ⅲ求點到平面的距離．

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【題目】如圖甲，AD，BC是等腰梯形CDEF的兩條高，，點M是線段AE的中點，將該等腰梯形沿著兩條高AD，BC折疊成如圖乙所示的四棱錐P-ABCD（E，F重合，記為點P）.

甲 乙

（1）求證：；

（2）求點M到平面BDP距離h.

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【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求的最大值；

（2）若只有一個極值點.

（i）求實數(shù)的取值范圍；

（ii）證明：.

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【題目】某購物商場分別推出支付寶和微信“掃碼支付”購物活動，活動設置了一段時間的推廣期，由于推廣期內優(yōu)惠力度較大，吸引越來越多的人開始使用“掃碼支付”．現(xiàn)統(tǒng)計了活動剛推出一周內每天使用掃碼支付的人次，用表示活動推出的天數(shù)，表示每天使用掃碼支付的人次，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：

（1）根據(jù)散點圖判斷，在推廣期內，掃碼支付的人次關于活動推出天數(shù)的回歸方程適合用來表示，求出該回歸方程，并預測活動推出第天使用掃碼支付的人次；

（2）推廣期結束后，商場對顧客的支付方式進行統(tǒng)計，結果如下表：

支付方式

現(xiàn)金

會員卡

掃碼

比例

商場規(guī)定：使用現(xiàn)金支付的顧客無優(yōu)惠，使用會員卡支付的顧客享受折優(yōu)惠，掃碼支付的顧客隨機優(yōu)惠，根據(jù)統(tǒng)計結果得知，使用掃碼支付的顧客，享受折優(yōu)惠的概率為，享受折優(yōu)惠的概率為，享受折優(yōu)惠的概率為．現(xiàn)有一名顧客購買了元的商品，根據(jù)所給數(shù)據(jù)用事件發(fā)生的頻率來估計相應事件發(fā)生的概率，估計該顧客支付的平均費用是多少？

參考數(shù)據(jù)：設，，，

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，．

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