【題目】已知函數(shù)f(x)=ex﹣ax2(a∈R).
(1)若g(x)= 有三個極值點x1 , x2 , x,求a的取值范圍;
(2)若f(x)≥﹣ax3+1對任意x∈[0,1]都恒成立的a的最大值為μ,證明:5 .
【答案】
(1)解:g(x)= ,定義域為(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,+∞),
g′(x)= ,∵g′(0)=0,
只需h(x)=ex﹣ax﹣2a=0應有兩個既不等于0也不等于﹣1的根,h′(x)=ex﹣a,
①當a≤0時,h′(x)>0,∴h(x)單增,h(x)=0最多只有一個實根,不滿足;
②當a>0時,h′(x)=ex﹣a=0x=lna,
當x∈(﹣∞,lna)時,h′(x)<0,h(x)單減;
當x∈(lna,+∞)時,h'(x)>0,h(x)單增;∴h(x0)是h(x)的極小值,
而x→+∞時,h(x)→+∞,x→﹣∞時,h(x)→+∞,
要h(x)=0有兩根,只需h(lna)<0,
由h(lna)=elna﹣alna﹣2a<0﹣alna﹣a<0lna>﹣1a>
又由h(0)=1﹣2a≠0a≠ ,
反之,若a a 且時,則h(﹣1)= ,h(x)=0的兩根中,一個大于﹣1,另一個小于﹣1.
在定義域中,連同x=0,g′(x)=0共有三個相異實根,
且在三根的左右,g′(x)正負異號,它們是g(x)的三個極值點.
綜上,a的取值范圍為( , )
(2)證明: f(x)≥﹣ax3+1對任意x∈[0,1]都恒成立
ex﹣ax2≥﹣ax3+1ex﹣1≥a(x2﹣x3)對x∈[0,1]恒成立,
①當x=0或1時,a∈R均滿足;
②ex﹣1≥a(x2﹣x3)對x∈(0,1)恒成立a≤ 對x∈(0,1)恒成立,
記u(x)= ,x∈(0,1),則(a)max=μ=( )min,x∈(0,1),
欲證5 5<( )min< ,
而 ,
只需證明 ,顯然成立.
下證: ,
先證: , ,
令 , ,
∴v'(x)在(0,1)上單增,v″(x)>v″(0)=0,
∴v'(x)在(0,1)上單增,∴v′(x)>v′(0)=0,∴v′(x)在(0,1)上單增,
∴v(x)>v(0)=1,即證.
要證:ex>5x2﹣5x3+1,x∈(0,1),
只需證1+x+ + ≥5x2﹣5x3+1,x(0,1)
31x3﹣27x2+6x≥0x(31x2﹣27x+6)≥031x2﹣27x+6≥0,x∈(0,1)
而△=272﹣4×31×6=﹣15<0,開口向上,上不等式恒成立,從而得證命題成立
【解析】1、由已知求導可得h′(x)=ex﹣a,利用導數(shù)可求出函數(shù)的極值,進而得到h(x0)是h(x)的極小值。
2、利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數(shù)的極值與導數(shù)的相關知識,掌握求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值,以及對函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)的理解,了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,側(cè)面ADD1A1⊥底面ABCD,D1A=D1D= ,底面ABCD為直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O為AD中點.
(Ⅰ)求證:A1O∥平面AB1C;
(Ⅱ)求銳二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】自2016年1月1日起,我國全面二孩政策正式實施,這次人口與生育政策的歷史性調(diào)整,使得“要不要再生一個”“生二孩能休多久產(chǎn)假”等成為千千萬萬個家庭在生育決策上避不開的話題.為了解針對產(chǎn)假的不同安排方案形成的生育意愿,某調(diào)查機構隨機抽取了200戶有生育二胎能力的適齡家庭進行問卷調(diào)查,得到如下數(shù)據(jù):
產(chǎn)假安排(單位:周) | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
有生育意愿家庭數(shù) | 4 | 8 | 16 | 20 | 26 |
(1)若用表中數(shù)據(jù)所得的頻率代替概率,面對產(chǎn)假為14周與16周,估計某家庭有生育意愿的概率分別為多少?
(2)假設從5種不同安排方案中,隨機抽取2種不同安排分別作為備選方案,然后由單位根據(jù)單位情況自主選擇.
①求兩種安排方案休假周數(shù)和不低于32周的概率;
②如果用ξ表示兩種方案休假周數(shù)和.求隨機變量ξ的分布及期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知集合A={x|y= },集合B={x|y=lg(﹣x2﹣7x﹣12)},集合C={x|m+1≤x≤2m﹣1}.
(1)求A∩B;
(2)若A∪C=A,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,M、N分別是棱AB、CC1的中點,△MB1P的頂點P在棱CC1與棱C1D1上運動,有以下四個命題:
①平面MB1P⊥ND1;②平面MB1P⊥平面ND1A1;③△MB1P在底面ABCD上的射影圖形的面積為定值;④△MB1P在側(cè)面D1C1CD上的射影圖形是三角形.
其中正確命題的序號是 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,且cos2B+3cos(A+C)+2=0, ,那么△ABC周長的最大值是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某景點擬建一個扇環(huán)形狀的花壇(如圖所示),按設計要求扇環(huán)的周長為36米,其中大圓弧所在圓的半徑為14米,設小圓弧所在圓的半徑為x米,圓心角為θ(弧度).
(1)求θ關于x的函數(shù)關系式;
(2)已知對花壇的邊緣(實線部分)進行裝飾時,直線部分的裝飾費用為4元/米,弧線部分的裝飾費用為16元/米,設花壇的面積與裝飾總費用之比為y,求y關于x的函數(shù)關系式,并求出y的最大值.
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