【題目】如圖,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,側(cè)面ADD1A1⊥底面ABCD,D1A=D1D= ,底面ABCD為直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O為AD中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:A1O∥平面AB1C;
(Ⅱ)求銳二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值.
【答案】(Ⅰ)證明:如圖,連接CO,AC,
則四邊形ABCO為正方形,
∴OC=AB=A1B1,且OC∥AB∥A1B1
∴四邊形A1B1CO為平行四邊形,
∴A1O∥B1C,
又∵A1O平面AB1C,B1C平面AB1C,
∴A1O∥平面AB1C.…
(Ⅱ)∵D1A=D1D,O為AD的中點(diǎn),
∴D1O⊥AD,又側(cè)面ADD1A1⊥底面ABCD,
∴D1O⊥底面ABCD,…
以O(shè)為原點(diǎn),OC,OD,OD1所在直線(xiàn)分別為x軸,y軸,Z軸,
建立如圖所示的坐標(biāo)系,
由題意得:C(1,0,0),D(0,1,0),
D1(0,0,1),A(0,﹣1,0),…
∴ , =(0,﹣1,1),
=(0,﹣1,﹣1), =(1,﹣1,0),
設(shè) 為平面CDD1C1的一個(gè)法向量,
則 ,∴ ,
令Z=1,則y=1,x=1,∴ ,…
設(shè) 為平面AC1D1的一個(gè)法向量,
則 ,∴ ,令Z1=1,
則y1=﹣1,x1=﹣1,∴ ,
∴ ,
∴所求銳二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值為 .…
【解析】(1)連接CO,AC易證為平行四邊形,由此可證∥平面;(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OC,OD,為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用法向量求出銳二面角。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線(xiàn)與平面平行的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行,則該直線(xiàn)與此平面平行;簡(jiǎn)記為:線(xiàn)線(xiàn)平行,則線(xiàn)面平行才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線(xiàn)l的參數(shù)方程為 (其中t為參數(shù)).現(xiàn)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ=6cosθ.
(Ⅰ) 寫(xiě)出直線(xiàn)l普通方程和曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ) 過(guò)點(diǎn)M(﹣1,0)且與直線(xiàn)l平行的直線(xiàn)l1交C于A,B兩點(diǎn),求|AB|.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了響應(yīng)教育部頒布的《關(guān)于推進(jìn)中小學(xué)生研學(xué)旅行的意見(jiàn)》,某校計(jì)劃開(kāi)設(shè)八門(mén)研學(xué)旅行課程,并對(duì)全校學(xué)生的選擇意向進(jìn)行調(diào)查(調(diào)查要求全員參與,每個(gè)學(xué)生必須從八門(mén)課程中選出唯一一門(mén)課程).本次調(diào)查結(jié)果整理成條形圖如下.圖中,已知課程A,B,C,D,E為人文類(lèi)課程,課程F,G,H為自然科學(xué)類(lèi)課程.為進(jìn)一步研究學(xué)生選課意向,結(jié)合圖表,采取分層抽樣方法從全校抽取1%的學(xué)生作為研究樣本組(以下簡(jiǎn)稱(chēng)“組M”).
(Ⅰ)在“組M”中,選擇人文類(lèi)課程和自然科學(xué)類(lèi)課程的人數(shù)各有多少?
(Ⅱ)為參加某地舉辦的自然科學(xué)營(yíng)活動(dòng),從“組M”所有選擇自然科學(xué)類(lèi)課程的同學(xué)中隨機(jī)抽取4名同學(xué)前往,其中選擇課程F或課程H的同學(xué)參加本次活動(dòng),費(fèi)用為每人1500元,選擇課程G的同學(xué)參加,費(fèi)用為每人2000元.
(。┰O(shè)隨機(jī)變量X表示選出的4名同學(xué)中選擇課程G的人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列;
(ⅱ)設(shè)隨機(jī)變量Y表示選出的4名同學(xué)參加科學(xué)營(yíng)的費(fèi)用總和,求隨機(jī)變量Y的期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,將△BCD沿對(duì)角線(xiàn)BD折起到△B'CD的位置,使平面BC'D⊥平面ABD,E是BD的中點(diǎn),F(xiàn)A⊥平面ABD,且FA=2 ,如圖2.
(1)求證:FA∥平面BC'D;
(2)求平面ABD與平面FBC'所成角的余弦值;
(3)在線(xiàn)段AD上是否存在一點(diǎn)M,使得C'M⊥平面FBC?若存在,求 的值;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中, ,AB=AC=AA1=1,已知G和E分別為A1B1和CC1的中點(diǎn),D與F分別為線(xiàn)段AC和AB上的動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),若GD⊥EF,則線(xiàn)段DF的長(zhǎng)度的取值范圍為( )
A.[ ,1)
B.[ ,1]
C.( ,1)
D.[ ,1)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB為圓O的直徑,點(diǎn)E、F在圓O上,AB∥EF,矩形ABCD所在的平面與圓O所在的平面互相垂直.已知AB=2,EF=1.
(Ⅰ)求證:平面DAF⊥平面CBF;
(Ⅱ)求直線(xiàn)AB與平面CBF所成角的大。
(Ⅲ)當(dāng)AD的長(zhǎng)為何值時(shí),平面DFC與平面FCB所成的銳二面角的大小為60°?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) (m,n∈R)在x=1處取得極值2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)k為何值時(shí),方程f(x)-k=0只有1個(gè)根
(3)設(shè)函數(shù)g(x)=x2-2ax+a,若對(duì)于任意x1∈R,總存在x2∈[-1,0],使得g(x2)≤f(x1),求a的取值范圍
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ex﹣ax2(a∈R).
(1)若g(x)= 有三個(gè)極值點(diǎn)x1 , x2 , x,求a的取值范圍;
(2)若f(x)≥﹣ax3+1對(duì)任意x∈[0,1]都恒成立的a的最大值為μ,證明:5 .
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