【題目】過拋物線外一點M作拋物線的兩條切線,兩切點的連線段稱為點M對應(yīng)的切點弦已知拋物線為,點P,Q在直線l:上,過P,Q兩點對應(yīng)的切點弦分別為AB,CD
當(dāng)點P在l上移動時,直線AB是否經(jīng)過某一定點,若有,請求出該定點的坐標(biāo);如果沒有,請說明理由
當(dāng)時,點P,Q在什么位置時,取得最小值?
【答案】(1)直線AB經(jīng)過定點 ;(2)當(dāng),時,取得最小值4.
【解析】
設(shè),,,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,分別求出直線PA,PB的方程可得,可得直線AB的方程進(jìn)而求出定點.
設(shè),,根據(jù)可得,妨設(shè),則,且,,根據(jù)基本不等式即可求出.
解:設(shè),,,
則,,
拋物線的方程可變形為,則,
直線PA的斜率為,
直線PA的方程,化簡,
同理可得直線PB的方程為,
由可得,
直線AB的方程為,則是方程的解,
直線AB經(jīng)過定點.
設(shè),,
由可知,,
,
,即,
,異號,
不妨設(shè),則,且,
,當(dāng)且僅當(dāng),時取等號,
即當(dāng),時,取得最小值4
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知五邊形ABECD有一個直角梯形ABCD與一個等邊三角形BCE構(gòu)成,如圖1所示,,且,將梯形ABCD沿著BC折起,形成如圖2所示的幾何體,且平面BEC.
求證:平面平面ADE;
求二面角的平面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=1,AC=CD=DA=2,動點M在邊DC上(不同于D點),P為邊AB上任意一點,沿AM將△ADM翻折成△AD'M,當(dāng)平面AD'M垂直于平面ABC時,線段PD'長度的最小值為_____.
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【題目】設(shè)和是關(guān)于的方程的兩個虛數(shù)根,若、、在復(fù)平面上對應(yīng)的點構(gòu)成直角三角形,那么實數(shù)_______________.
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【題目】已知橢圓的左右頂點分別是,,點在橢圓上,過該橢圓上任意一點P作軸,垂足為Q,點C在的延長線上,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)求動點C的軌跡E的方程;
(3)設(shè)直線(C點不同A、B)與直線交于R,D為線段的中點,證明:直線與曲線E相切;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,對于點、直線,我們稱為點到直線的方向距離.
(1)設(shè)雙曲線上的任意一點到直線,的方向距離分別為,求的值;
(2)設(shè)點、到直線的方向距離分別為,試問是否存在實數(shù),對任意的都有成立?說明理由;
(3)已知直線和橢圓,設(shè)橢圓的兩個焦點到直線的方向距離分別為滿足,且直線與軸的交點為、與軸的交點為,試比較的長與的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知圓的方程為,圓的方程為,若動圓與圓內(nèi)切,與圓外切.
(Ⅰ)求動圓圓心的軌跡的方程;
(Ⅱ)過直線上的點作圓的兩條切線,設(shè)切點分別是,,若直線與軌跡交于,兩點,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點,點是圓上的任意一點,設(shè)為該圓的圓心,并且線段的垂直平分線與直線交于點.
(1)求點的軌跡方程;
(2)已知兩點的坐標(biāo)分別為, ,點是直線上的一個動點,且直線分別交(1)中點的軌跡于兩點(四點互不相同),證明:直線恒過一定點,并求出該定點坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系中,以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線:,過點的直線的參數(shù)方程為:(為參數(shù)),直線與曲線分別交于、兩點.
(1)寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程;
(2)求線段的長和的積.
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