【題目】[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線：，過點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），直線與曲線分別交于、兩點(diǎn).

（1）寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；

（2）求線段的長(zhǎng)和的積.

【答案】（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為：.直線的普通方程為.（2）8； 14

【解析】

（1）由，也即，即得曲線的直角坐標(biāo)方程為.

由消去參數(shù)得直線的普通方程為.（2）將直線的參數(shù)方程代入中得，再利用直線參數(shù)方程t的幾何意義求線段的長(zhǎng)和的積.

（1）由，也即，

∴曲線的直角坐標(biāo)方程為：.

由消去參數(shù)得直線的普通方程為.

（2）將直線的參數(shù)方程代入中，

得：，則有，.

不妨設(shè)，兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為、，

則，，

∴ .

.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】過拋物線外一點(diǎn)M作拋物線的兩條切線，兩切點(diǎn)的連線段稱為點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)弦已知拋物線為，點(diǎn)P，Q在直線l：上，過P，Q兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)弦分別為AB，CD

當(dāng)點(diǎn)P在l上移動(dòng)時(shí)，直線AB是否經(jīng)過某一定點(diǎn)，若有，請(qǐng)求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果沒有，請(qǐng)說明理由

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P，Q在什么位置時(shí)，取得最小值？

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【題目】極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系有相同的長(zhǎng)度單位，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸．已知曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為，射線，，，與曲線分別交異于極點(diǎn)的四點(diǎn)，，，．

（）若曲線關(guān)于曲線對(duì)稱，求的值，并把曲線和化成直角坐標(biāo)方程．

（）求，當(dāng)時(shí)，求的值域．

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【題目】2019年11月2日，中國藥品監(jiān)督管理局批準(zhǔn)了治療阿爾茨海默病（老年癡呆癥）新藥GV-971的上市申請(qǐng)，這款新藥由我國科研人員研發(fā)，我國擁有完全知識(shí)產(chǎn)權(quán).據(jù)悉，該款藥品為膠囊，從外觀上看是兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱組成，其中上半球是膠囊的蓋子，粉狀藥物儲(chǔ)存在圓柱及下半球中.膠囊軸截面如圖所示，兩頭是半圓形，中間區(qū)域是矩形，其周長(zhǎng)為50毫米，藥物所占的體積為圓柱體積和一個(gè)半球體積之和.假設(shè)的長(zhǎng)為毫米.（注：，，其中為球半徑，為圓柱底面積，為圓柱的高）

（1）求膠囊中藥物的體積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（2）如何設(shè)計(jì)與的長(zhǎng)度，使得最大？

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【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】設(shè),

(1)當(dāng)時(shí),求在上的最大值和最小值;

(2)當(dāng)時(shí),過點(diǎn)作函數(shù)的圖象的切線,求切線方程.

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【題目】已知的兩個(gè)頂點(diǎn)為，，平面內(nèi)P，Q同時(shí)滿足；；．

求頂點(diǎn)A的軌跡E的方程；

過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，，直線，被點(diǎn)A的軌跡E截得的弦分別為，，設(shè)弦，的中點(diǎn)分別為M，試問：直線MN是否恒過一個(gè)頂點(diǎn)？若過定點(diǎn)，請(qǐng)求出該頂點(diǎn)，若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．

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（1）求證：平面ADF；

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【題目】順次連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)恰好構(gòu)成了一個(gè)邊長(zhǎng)為且面積為的菱形。

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（2），是橢圓上的兩個(gè)不同點(diǎn)，若直線，的斜率之積為（以為坐標(biāo)原點(diǎn)），線段上有一點(diǎn)滿足，連接并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，求橢圓的值.

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