【題目】在如圖所示的幾何體中, , , , , ,二面角的大小為.
(1)求證: 平面;
(2)求平面與平面所成的角(銳角)的大小;
(3)若為的中點,求直線與平面所成的角的大小.
【答案】(1)見解析;(2);(3)
【解析】試題分析:(Ⅰ)由已知可得AC⊥CD,AC⊥CB,即∠BCD為二面角B﹣AC﹣E的平面角,即∠BCD=60°,求解三角形可得BD⊥DC,再由線面垂直的判定可得AC⊥平面BCD,得到AC⊥BD,進一步得到BD⊥平面ACDE;
(Ⅱ)由BD⊥平面ACDE,得BD⊥DC,BD⊥DE,可得DB,DC,DE兩兩垂直,分別以DB,DC,DE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系,求出所用點的坐標,得到平面BAE與平面BCD的一個法向量,由兩法向量所成角的余弦值可得平面BCD與平面BAE所成的角;
(Ⅲ)若F為AB的中點,由(II)可得,進一步得到,由已知可得平面BDE的一個法向量為,由與所成角的余弦值的絕對值可得直線EF與平面BDE所成角的大小.
試題解析:
(1)因為,則, ,
所以為二面角的平面角,即,
在中, , , ,
所以,所以,即,
由, ,且,可知平面,
又平面,所以,
又因為, 平面, 平面,
所以平面.
(2)由平面得, ,又,即, , 兩兩垂直,
則以, , 分別為軸, 軸, 軸的正方向建立空間直角坐標系,如圖所示.
由(I)知, 則, , ,
由得,
依題意, ,
設平面的一個法向量為,
則,即,不妨設,可得,
由平面可知平面的一個法向量為
設平面與平面所成的角(銳角)為,
所以,于是,
所以平面與平面所成的角(銳角)為.
(3)若為的中點,則由(II)可得,所以,
依題意平面,可知平面的一個法向量為,
設直線與平面所成角為,則
,所以直線與平面所成角的大小.
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【題目】如圖,曲線與正方形: 的邊界相切.
(1)求的值;
(2)設直線交曲線于,交于,是否存在這樣的曲線,使得, , 成等差數(shù)列?若存在,求出實數(shù)的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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【題目】在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點, 軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標為.
(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程;
(2)若曲線和曲線有三個公共點,求以這三個公共點為頂點的三角形的面積.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
已知在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的方程為.以坐標原點為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求直線和曲線的極坐標方程;
(2)曲線分別交直線和曲線于點,求的最大值及相應的值.
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【題目】某大學現(xiàn)有6名包含在內(nèi)的男志愿者和4名包含在內(nèi)的女志愿者,這10名志愿者要參加第十三屆全運會支援服務工作,從這些人中隨機抽取5人參加田賽服務工作,另外5人參加徑賽服務工作.
(1)求參加田賽服務工作的志愿者中包含但不包含的概率;
(2)設表示參加徑賽服務工作的女志愿者人數(shù),求隨機變量的分布列與數(shù)學期望.
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【題目】經(jīng)過函數(shù)性質(zhì)的學習,我們知道:“函數(shù)的圖象關于軸成軸對稱圖形”的充要條件是“為偶函數(shù)”.
(1)若為偶函數(shù),且當時,,求的解析式,并求不等式的解集;
(2)某數(shù)學學習小組針對上述結(jié)論進行探究,得到一個真命題:“函數(shù)的圖象關于直線成軸對稱圖形”的充要條件是“為偶函數(shù)”.若函數(shù)的圖象關于直線對稱,且當時,.
(i)求的解析式;
(ii)求不等式的解集.
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【題目】如圖,在多面體中,已知是邊長為2的正方形, 為正三角形, 分別為的中點, 且, .
(1)求證: 平面;
(2)求證: 平面;
(3)求與平面所成角的正弦值.
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【題目】已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E為棱CC1的中點,點M在正方形BCC1B1內(nèi)運動,且直線AM//平面A1DE,則動點M 的軌跡長度為( )
A. B. π C. 2 D.
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【題目】在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以平面直角坐標系的原點為極點,正半軸為極軸,取相同的長度單位建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)求直線和曲線的直角坐標方程,并指明曲線的形狀;
(2)設直線與曲線交于兩點, 為坐標原點,且,求.
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