Question

【題目】在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.

(1)求證：數(shù)列{an－n}是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn；

(3)求證：不等式Sn＋1≤4Sn對(duì)任意n∈N*皆成立．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）（3）見(jiàn)解析

【解析】(1)證明：由題設(shè)an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.又a1－1＝1，所以數(shù)列{an－n}是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列．

(2)解：由(1)可知an－n＝4n－1，于是數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝4n－1＋n，所以數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝.

(3)證明：對(duì)任意的n∈N*，Sn＋1－4Sn＝＝－ (3n2＋n－4)≤0，所以不等式Sn＋1≤4Sn對(duì)任意n∈N*皆成立．