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【題目】如圖所示，在長方形ABCD中，對角線AC與兩鄰邊所成的角分別為α，β，則cos2α＋cos2β＝1，則在立體幾何中，給出類比猜想并證明．

【答案】見解析

【解析】

本題考查的知識點是類比推理，由在長方形中，設一條對角線與其一頂點出發(fā)的兩條邊所成的角分別是α，β，則有cos2α+cos2β=1，我們根據平面性質可以類比推斷出空間性質，我們易得答案．

在矩形ABCD中，對角線AC與兩鄰邊所成的角分別為α，β，

則cos2α+cos2β=（）2+（）2===1．

于是類比到長方體中，

猜想：如圖，體對角線BD'與共頂點的三條棱AB，BB'，BC所成的角分別為α，β，γ，則cos2α+cos2β+cos2γ=1．

證明如下：

cos2α+cos2β+cos2γ

=（）2+（）2+（）2

=

==1．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設復數．

(1)若z在復平面內對應的點在第三象限，求m的取值范圍；

(2)若z在復平面內對應的點在直線x－y－1＝0上，求m的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C1:(a>b>0)的離心率為,x軸被曲線C2:y=x2-b截得的線段長度等于C1的短軸長.已知C2與y軸的交點為M,過坐標原點O的直線l與C2相交于點A,B,直線MA,MB分別與C1相交于點D,E.

(1)求C1,C2的方程;

(2)求證:MA⊥MB;

(3)記△MAB,△MDE的面積分別為S1,S2,若,求λ的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】若函數為定義域上單調函數，且存在區(qū)間（其中），使得當時，的取值范圍恰為，則稱函數是上的正函數，區(qū)間叫做等域區(qū)間．

（1）已知是上的正函數，求的等域區(qū)間；

（2）試探究是否存在實數，使得函數是上的正函數？若存在，請求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設函數f（x）=xex﹣asinxcosx（a∈R，其中e是自然對數的底數）．
（1）當a=0時，求f（x）的極值；
（2）若對于任意的x∈[0， ]，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍；
（3）是否存在實數a，使得函數f（x）在區(qū)間 上有兩個零點？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在數列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.

(1)求證：數列{an－n}是等比數列；

(2)求數列{an}的前n項和Sn；

(3)求證：不等式Sn＋1≤4Sn對任意n∈N*皆成立．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形， 平面，點， 分別為， 的中點，且， .

（1）證明： 平面；

（2）設直線與平面所成角為，當在內變化時，求二面角的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知數列{an}，其前n項和為Sn ．
（1）若{an}是公差為d（d＞0）的等差數列，且{ }也為公差為d的等差數列，求數列{an}的通項公式；
（2）若數列{an}對任意m，n∈N* ， 且m≠n，都有 =am+an+ ，求證：數列{an}是等差數列．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數．

（1）求函數在區(qū)間上的最大、最小值；

（2）求證：在區(qū)間上，函數的圖象在函數的圖象的下方．

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