【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)P( ,m)到準(zhǔn)線的距離與到原點(diǎn)O的距離相等,拋物線的焦點(diǎn)為F.
(1)求拋物線的方程;
(2)若A為拋物線上一點(diǎn)(異于原點(diǎn)O),點(diǎn)A處的切線交x軸于點(diǎn)B,過A作準(zhǔn)線的垂線,垂足為點(diǎn)E.試判斷四邊形AEBF的形狀,并證明你的結(jié)論.

【答案】
(1)解:拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F( ,0),準(zhǔn)線方程為x=﹣ ,

由題意點(diǎn) 到準(zhǔn)線的距離為|PO|,

由拋物線的定義,可得點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為|PF|,

即有|PO|=|PF|,即點(diǎn) 在線段OF的中垂線上,

= ,解得p=3,則拋物線的方程為y2=6x


(2)解:四邊形AEBF為菱形.

證明:拋物線y2=6x的焦點(diǎn)為F( ,0),準(zhǔn)線方程為x=﹣ ,

由拋物線的對(duì)稱性,設(shè)點(diǎn) 在x軸的上方,

由y2=6x,兩邊對(duì)x求導(dǎo)可得,2yy′=6,即y′= ,

可得點(diǎn)A處的切線的斜率為 ,

則點(diǎn)A處切線的方程為

令上式中y=0,得

可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ,又 ,

所以 ,

所以 ,所以FA∥BE,又AE∥FB,

故四邊形AEBF為平行四邊形,

再由拋物線的定義,得AF=AE,

所以四邊形AEBF為菱形.


【解析】(1)求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程,運(yùn)用拋物線的定義可得點(diǎn) 在線段OF的中垂線上,可得p=3,進(jìn)而得到拋物線的方程;(2)四邊形AEBF為菱形.由拋物線的對(duì)稱性,設(shè)點(diǎn) 在x軸的上方,求出拋物線的切線的斜率和切線的方程,令y=0,求得B的坐標(biāo),E,F(xiàn)的坐標(biāo),由向量相等即可得到四邊形的形狀.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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