Question

如圖1在梯形PBCE中，PB=2BC=4，CE=3，A是線段PB上一點，AD∥BC，現將四邊形PADE沿AD折起，使得平面PADE⊥平面ABCD，連接PC，CE，得到如圖2所示的空間圖形，已知F是PC的中點，EF∥平面ABCD．
（Ⅰ）求DE的長；
（Ⅱ）求點A到平面PCE的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）連結AC，BD交于點O，連結OF，則OF∥PA，且OF=

1

2

PA，又知DE∥PA，推斷出DE∥OF，根據EF∥平面ABCD，平面ODEF∩平面ABCD=OD，判斷出EF∥OD，進而可知四邊形ODEF為平行四邊形，求得DE=

1

2

PA，又PA+CD=4，CD+DE=3，則DE可求．
（Ⅱ）由EF∥BD，BD⊥平面PAC，根據線面垂直的判定知EF⊥平面PAC，過點A作AG⊥PC，垂足為G，則AG⊥平面PCE，繼而求得AG，即點A到平面PCE的距離．

解答： 解：（Ⅰ）連結AC，BD交于點O，連結OF，則OF∥PA，且OF=

1

2

PA，
又DE∥PA，
∴DE∥OF，
∵EF∥平面ABCD，平面ODEF∩平面ABCD=OD，
∴EF∥OD，
∴四邊形ODEF為平行四邊形，
∴DE=

1

2

PA，
又PA+CD=4，CD+DE=3，
∴DE=1．
（Ⅱ）∵EF∥BD，BD⊥平面PAC，
∴EF⊥平面PAC，
過點A作AG⊥PC，垂足為G，則AG⊥平面PCE，
AG=

2×2 2

4+8

=

2 6

3

，即點A到平面PCE的距離為

2 6

3

．

點評：本題主要考查了線面平行和線面垂直判定定理的應用，點到面的距離．考查了學生綜合運用所學知識的能力．