Question

如圖，四邊形ABEF是等腰梯形，AB∥EF，AF=BE=2，EF=4

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，AB=2

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，ABCD是矩形．AD⊥平面ABEF，其中Q，M分別是AC，EF的中點(diǎn)，P是BM中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PQ∥平面BCE；
（Ⅱ）求證：AM⊥平面BCM；
（Ⅲ）求點(diǎn)F到平面BCE的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計算,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）根據(jù)AB∥EM，且AB=EM，推斷出四邊形ABEM為平行四邊形，連接AE，則AE過點(diǎn)P，且P為AE中點(diǎn)，又Q為AC中點(diǎn)，進(jìn)而可推斷PQ是的中位線，可知PQ∥CE．最后根據(jù)線面平行的判定定理推斷出PQ∥平面BCE．
（Ⅱ）AD⊥平面ABEF，推斷出BC⊥平面ABEF，進(jìn)而可知BC⊥AM，等腰梯形ABEF中由AF=BE=2，EF=4

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，AB=2

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可求得∠BEF，BM，進(jìn)而可知AB²=AM²+BM²推斷出AM⊥BM進(jìn)而根據(jù)BC∩BM=B，推斷出AM⊥平面BCM．
（Ⅲ）根據(jù)EM²=BE²+BM²，推斷出MB⊥BE，又MB⊥BC，BC∩BE=B，根據(jù)線面垂直的判定定理推斷出MB⊥平面BCE，進(jìn)而根據(jù)d=2MB求得答案．．

解答： 證明：（Ⅰ）∵AB∥EM，且AB=EM，
∴四邊形ABEM為平行四邊形，
連接AE，則AE過點(diǎn)P，且P為AE中點(diǎn)，又Q為AC中點(diǎn)，
∴PQ是的中位線，于是PQ∥CE．
∵CE?平面BCE，PQ?平面BCE，
∴PQ∥平面BCE．
（Ⅱ）∵AD⊥平面ABEF，
∴BC⊥平面ABEF，
∴BC⊥AM
等腰梯形ABEF中由AF=BE=2，EF=4

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，AB=2

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可得∠BEF=45°，BM=AM=2，
∴AB²=AM²+BM²    
∴AM⊥BM
又BC∩BM=B，∴AM⊥平面BCM．
（Ⅲ）點(diǎn)F到平面BCE的距離是M到平面BCE的距離的2倍，
∵EM²=BE²+BM²，
∴MB⊥BE，
又MB⊥BC，BC∩BE=B
∴MB⊥平面BCE，
∴d=2MB=4．

點(diǎn)評：本題主要考查了線面平行和線面垂直的判定定理的應(yīng)用，點(diǎn)到面的距離．考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識的綜合運(yùn)用．