Question

數(shù)列{a_n}滿足：a_n-a_n-1=4•3^n-2（n≥2），函數(shù)f（x）=3x-2，且a₁=2f（1）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=f（a_n），數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，若

S2n+4n

Sn+2n

＜a_n+1+t對任意的n∈N^*恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：綜合題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）由已知f（x）=3x-2，且a₁=2f（1）直接求出a₁的值，再由遞推式利用累加法求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項公式代入f（x）=3x-2，利用分組求和求出數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，代入

S2n+4n

Sn+2n

＜a_n+1+t把問題轉(zhuǎn)化為t＞（-3ⁿ+1）_max，則答案可求．

解答： 解：（1）∵f（x）=3x-2，
∴a₁=2f（1）=2（3-2）=2．
∵an-an-1=4•3n-2(n≥2)，
∴當(dāng)n≥2時，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=2+4•（3⁰+3¹+3²+…+3^n-2）
=2+4•

1•(1-3n-1)

1-3

=2•3^n-1．
當(dāng)n=1時，a₁也滿足上式，
∴a_n=2•3^n-1；
（2）bn=f(an)=3•an-2=2•3n-2．      
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=2（3¹+3²+…+3ⁿ）-2n
=3ⁿ⁺¹-2n-3． 
∴

S2n+4n

Sn+2n

=

3(32n-1)

3(3n-1)

=

(3n-1)(3n+1)

3n-1

=3ⁿ+1，
則

S2n+4n

Sn+2n

＜a_n+1+t對任意的n∈N^*恒成立可化為：
3ⁿ+1＜2•3ⁿ+t恒成立，
即t＞（-3ⁿ+1）_max．
∵n≥1且n∈N^*，
∴3ⁿ≥3，
∴-3ⁿ+1≤-2
故t＞-2．

點評：本題是數(shù)列與不等式得綜合題，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，訓(xùn)練了累加法求數(shù)列的通項公式，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中高檔題．