【題目】定義:如果存在實(shí)常數(shù)a和b,使得函數(shù)總滿足,我們稱這樣的函數(shù)是“型函數(shù)”.請解答以下問題:
(1)已知函數(shù)是“型函數(shù)”,求p和b的值;
(2)已知函數(shù)是“型函數(shù)”,求一組滿足條件的k、m和a的值,并說明理由.
(3)已知函數(shù)是一個“型函數(shù)”,且,是增函數(shù),若是在區(qū)間上的圖像上的點(diǎn),求點(diǎn)M隨著變化可能到達(dá)的區(qū)域的面積的大小,并證明你的結(jié)論.
【答案】(1) (2),,,理由見解析 (3)M點(diǎn)在不等式(時等號不成立)所表示的區(qū)域內(nèi),面積為4,證明見解析
【解析】
(1)由函數(shù)是“型函數(shù)”,則有,將函數(shù)表達(dá)式代入可求出的值.
(2)先證明的圖像是關(guān)于對稱的,然后根據(jù)是“型函數(shù)”求出一組滿足條件的k、m和a的值即可.
(3)由函數(shù)是一個“型函數(shù)”,且,是增函數(shù),可得M點(diǎn)在不等式(時等號不成立)所表示的區(qū)域內(nèi),在證明其充要性.
(1)解:,
所以,即
(2)解:設(shè)
注意到的圖像是軸對稱圖形,的對稱軸是,證明如下,
因為,
即;
,
于是,,此時.
(3)解:M點(diǎn)在不等式(時等號不成立)所表示的區(qū)域內(nèi);
所以在的面積為
下面證明:
M點(diǎn)在不等式(時等號不成立)所表示的區(qū)域內(nèi);
,,時,,滿足
由單調(diào)遞增,得到時;當(dāng)時.
當(dāng)時,,所以,所以,
此時,,所以滿足
當(dāng)時,,所以,所以
此時,,所以滿足
即M點(diǎn)在不等式(時等號不成立)所表示的區(qū)域內(nèi)
(B)證明:M點(diǎn)可為(時等號不成立)所表示的區(qū)域內(nèi)任意點(diǎn).
存在函數(shù),此時,
其中,此時是增函數(shù),并滿足.
讓k在區(qū)間變化,圖像充滿(時等號不成立)所在區(qū)域
由A、B得:M運(yùn)動區(qū)域是(時等號不成立)所在區(qū)域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】蔬菜批發(fā)市場銷售某種蔬菜,在一個銷售周期內(nèi),每售出1噸該蔬菜獲利500元,未售出的蔬菜低價處理,每噸虧損100元.統(tǒng)計該蔬菜以往100個銷售周期的市場需求量,繪制下圖所示頻率分布直方圖.
(Ⅰ)求的值,并求100個銷售周期的平均市場需求量(以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的數(shù)值);
(Ⅱ)若經(jīng)銷商在下個銷售周期購進(jìn)了190噸該蔬菜,設(shè)為該銷售周期的利潤(單位:元),為該銷售周期的市場需求量(單位:噸).求與的函數(shù)解析式,并估計銷售的利潤不少于86000元的概率.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)),把曲線橫坐標(biāo)縮短為原來的,縱坐標(biāo)縮短為原來的一半,得到曲線,直線的普通方程是,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系;
(1)求直線的極坐標(biāo)方程和曲線的普通方程;
(2)記射線與交于點(diǎn),與交于點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為
(1)在曲線上任取一點(diǎn),連接,在射線上取一點(diǎn),使,求點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程;
(2)在曲線上任取一點(diǎn),在曲線上任取一點(diǎn),求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四棱錐中, 平面,底面為菱形, , 是中點(diǎn), 是的中點(diǎn), 是上的點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)當(dāng)是中點(diǎn),且時,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】由郭帆執(zhí)導(dǎo)吳京主演的電影《流浪地球》于2019年2月5日起在中國內(nèi)地上映,影片引發(fā)了觀影熱潮,預(yù)計《流浪地球》票房收入47億人民幣,超過《紅海行動》成為中國影史票房亞軍,僅次于《戰(zhàn)狼2》.某電影院為了解該影院觀看《流浪地球》的觀眾的年齡構(gòu)成情況,隨機(jī)抽取了40名觀眾,將他們的年齡分成7段:,,,,,,,得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)試求這40名觀眾年齡的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù);
(2)(i)若從樣本中年齡在50歲以上的觀眾中任取3名贈送VIP貴賓觀影卡,求這3名觀眾至少有1人年齡不低于70歲的概率;
(ii)該電影院決定采用抽獎方式來提升觀影人數(shù),將《流浪地球》電影票票價提高20元,并允許購買電影票的觀眾抽獎3次,中獎1次、2次、3次分別獎現(xiàn)金元、元,元.設(shè)觀眾每次中獎的概率均為,若要使抽獎方案對電影院有利,則最高可定為多少元?(結(jié)果精確到個位)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】己知六個函數(shù):①;②;③;④;⑤;⑥,從中任選三個函數(shù),則其中既有奇函數(shù)又有偶函數(shù)的選法共有_______種.
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|)的圖象與直線y=2的兩個相鄰的交點(diǎn)之間的距離為π,且f(x)+f(﹣x)=0,若g(x)=sin(ωx+φ),則( 。
A.g(x)在(0,)上單調(diào)遞增B.g(x)在 (0,)上單調(diào)遞減
C.g(x)在(,)上單調(diào)遞增D.g(x)在(,)上單調(diào)遞減
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【題目】若存在常數(shù),使得對任意,,均有,則稱為有界集合,同時稱為集合的上界.
(1)設(shè),,試判斷是否為有界集合,并說明理由;
(2)已知常數(shù),若函數(shù)為有界集合,求集合的上界最小值.
(3)已知函數(shù),記,,,,求使得集合為有界集合時的取值范圍.
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