Question

已知曲線y=f（x）及y=f（x）sinωx，其中f（x）＞0，且為可導(dǎo)函數(shù)，求證：兩曲線在公共點(diǎn)處有相同的切線．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：聯(lián)立兩曲線方程，可得sinωx=1，即有cosωx=0，分別求出兩函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷是否相等，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可得證．

解答： 證明：聯(lián)立y=f（x）及y=f（x）sinωx，
消去y，可得sinωx=1，
即有cosωx=0，
由于y′=f′（x），
y′=f′（x）sinωx+f（x）ωcosωx=f′（x）sinωx=f′（x），
即有兩曲線公共點(diǎn)處的切線的斜率相等，
故兩曲線在公共點(diǎn)處有相同的切線．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點(diǎn)處切線的斜率，正確求導(dǎo)和運(yùn)用同角的平方關(guān)系是解題的關(guān)鍵．