Question

如圖，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AD⊥PB，AE⊥PC，AP=

2

，AB=BC=1．
（1）求證：PC⊥平面ADE；
（2）求AB與平面ADE所成的角；
（3）Q為線段AC上的點，試確定點Q的位置，使得BQ∥平面ADE．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）欲證PC⊥平面ADE，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證PC與平面ADE內兩相交直線垂直，而PC⊥AD，PC⊥AE，AE∩AD=A，滿足定理條件；
（2）在平面PBC上，過點B作BF平行于PC交ED延長線于點F，連接AF，根據線面所成角的定義知∠BAF為直線AB和平面ADE所成的角，在RT△BFA中求出此角即可；
（3）作BG∥DF，GQ∥AE，連接BQ，則平面ADE∥平面BGQ，所以BQ∥平面ADE．

解答： （1）證明：因為PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，
又AB⊥BC，PA∩AB=A
所以BC⊥平面PAB，又AD?平面PAB，則BC⊥AD，
又AD⊥PB，PB∩BC=B，
所以AD⊥平面PBC，得PC⊥AD，
又PC⊥AE，AE∩AD=A，所以PC⊥平面ADE；
（2）解：在平面PBC上，過點B作BF平行于PC交ED延長線于點F，
連接AF，因為PC⊥平面ADE，所以BF⊥平面ADE，
所以∠BAF為直線AB和平面ADE所成的角．

在三角形PBC中，PD=

2 3

3

，則BD=

3

3

，
由△PED與△BFD相似可得BF=

1

2

在RT△BFA中，sin∠BAF=

BF

BA

=

1

2

，
所以直線AB與平面ADE所成的角為30°；
（3）解：作BG∥DF，GQ∥AE，連接BQ，則
平面ADE∥平面BGQ，所以BQ∥平面ADE．

由題意，PD=

2

3

，BD=

1

3

，AC=

2

，PE=1，則GE=

1

2

，
即G是CE的中點，所以Q是AC的中點，此時BQ∥平面ADE．

點評：本題主要考查了直線與平面垂直、平行的判定，以及直線與平面所成的角，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．