Question

一個(gè)四面體的相對(duì)棱分別相等，分別為

5

，

13

，

10

，則該四面體的內(nèi)切球與外接球的半徑之比

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：球的體積和表面積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：由已知中四面體三組對(duì)棱棱長(zhǎng)分別相等，且其長(zhǎng)分別為

5

，

13

，

10

，故可將其補(bǔ)充為一個(gè)長(zhǎng)方體，根據(jù)外接球的直徑等于長(zhǎng)方體的對(duì)角線，即可求出球的半徑．

解答： 解：因?yàn)樗拿骟w三組對(duì)棱棱長(zhǎng)分別相等，且其長(zhǎng)分別為

5

，

13

，

10

，故可將其補(bǔ)充為一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)為a，b，c，則a²+b²=5，a²+c²=13，b²+c²=10，所以長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)的平方為a²+b²+c²=14，設(shè)外接球半徑為R，所以其外接球直徑2R=

1 2 (5+13+10)

=

14

，
并且此四面體的體積為1×2×3-

1

6

×1×2×3×4=2，又每個(gè)面的面積為

1

2

×

5

×

10

×

7 2

10

=

7

2

，（其中

7 2

10

是

5

、

10

夾角的正弦值），設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，則

1

3

×

7

2

×r×4=2，解得r=

3

7

，
所以該四面體的內(nèi)切球與外接球的半徑之比

3

7

：

14

2

=

3 14

49

．
故答案為：

3 14

49

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑求法；將四面體補(bǔ)為長(zhǎng)方體是解答的關(guān)鍵．