Question

(本小題滿分16分)已知橢圓中心為，右頂點為，過定點作直線交橢圓于、兩點.
（1）若直線與軸垂直，求三角形面積的最大值；
（2）若，直線的斜率為，求證：；
（3）在軸上，是否存在一點，使直線和的斜率的乘積為非零常數(shù)？若存在，求出點的坐標和這個常數(shù)；若不存在，說明理由.

Answer 1

解：設直線與橢圓的交點坐標為.
（1）把代入可得：，    （2分）
則，當且僅當時取等號   （4分）
（2）由得，，（6分）
所以
         （9分）
（3）（理）當直線與軸不垂直時，可設直線方程為：，
由消去整理得 
則    ①         又      ②
若存在定點符合題意，且
         （11分）
把①、②式代入上式整理得
(其中都是常數(shù))
要使得上式對變量恒成立，當且僅當
，解得                          （13分）
當時，定點就是橢圓的右頂點，此時，；   
當時，定點就是橢圓的左頂點，此時，； （15分）
當直線與軸垂直時，由，解得兩交點坐標為
，可驗證：或
所以，存在一點（或），使直線和的斜率的乘積為
非零常數(shù)（或）.                     （16分）

略