在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cosC+（cosA-
3
sinA）cosB=0．
（1）求角B的大��；
（2）又若b=
3
，求△ABC面積的最大值．
考點(diǎn)：余弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用
專題：三角函數(shù)的求值
分析：（1）將cosC=-cos（A+B）代入已知等式，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，整理后求出tanB的值，即可確定出B的度數(shù)；
（2）利用余弦定理列出關(guān)系式，將cosB的值代入并利用基本不等式變形求出ac的最大值，再由sinB的值，利用三角形面積公式即可求出三角形ABC面積的最大值．
解答： 解：1）在△ABC中，C=π-（A+B），
∴cosC=-cos（A+B），
∵cosC+（cosA-
3
sinA）cosB=0，
∴-cos（A+B）+cosAcosB-
3
sinAcosB=sinAsinB-
3
sinAcosB=sinA（sinB-
3
cosB）=0，
∵0＜A＜π，
∴sinA≠0，
∴sinB-
3
cosB=0，
∵0＜B＜π，cosB≠0，
∴tanB=
sinB
cosB
=
3
，
∴B=
π
3
；
2）∵b=
3
，
∴b2=a2+c2-2accosB，即3=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac，
∴ac≤3，當(dāng)且僅當(dāng)a=c=
3
時(shí)取等號，
∴S△ABC=
1
2
acsinB=
1
2
acsin
π
3
=
3
4
ac≤
3
3
4
，
則△ABC面積的最大值是
3
3
4
．
點(diǎn)評：此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形面積公式，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C的右支上，|PF1|，|PF2|，|F1F2|成等差數(shù)列，且∠PF1F2=120°，則該雙曲線的離心率是（　�。�
A、
3
2
B、
3
C、2
D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC．
（Ⅰ）求角A的大�。�
（Ⅱ）若a=2
3
，b+c=4，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且b2=ac，sinB=
2
sinA．
（Ⅰ）求cosB．
（Ⅱ）若△ABC的面積為
7
，求BC邊上中線的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知實(shí)數(shù)x、y、z滿足2x2+3y2+6z2=a（a＞0），且x+y+z的最大值是1，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面上，
AB1
⊥
AB2
，|
OB1
|=|
OB2
|=1，
AP
=
AB1
+
AB2
．若|
OP
|＜
1
3
，則|
OA
|的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)al=1，公差d＞0，且第二項(xiàng)、第五項(xiàng)、第十四項(xiàng)分別是一個(gè)等比數(shù)列的第二項(xiàng)、第三項(xiàng)、第四項(xiàng)，
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式：
（2）設(shè)bn=
1
n(an+5)
（n∈N*），Sn=b1+b2+…+bn是否存在最大的整數(shù)t，使得對任意的n均有Sn＞
t
36
總成立？若存在，求出t：若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組
3x-y≤3
x+y≥1
x-y≥-1
，則z=2x-y+1的最小值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)y=1-2cos2（2x）的最小正周期是
 
．

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