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【題目】如圖,已知橢圓的左、右焦點分別為,以線段為直徑的圓與橢圓交于點.

1)求橢圓的方程;

2)過軸正半軸上一點作斜率為的直線.

①若與圓和橢圓都相切,求實數的值;

②直線軸左側交圓于兩點,與橢圓交于點、(從上到下依次為、、、),且,求實數的最大值.

【答案】(1)(2)①的最大值為3

【解析】

1)線段為直徑的圓與橢圓交于點,可以得圓的方程及,將點代入橢圓方程得,又因為,就可解出,,進而得出橢圓方程.

2)①設直線 的方程為:,即,因為與圓和橢圓相切,得,△,解得,

②取中點,連接,則,又,所以點中點,寫出點坐標,進而得坐標,代入橢圓方程化簡得,,設,最后再求則 最值.

解:(1)設橢圓的焦距為

因為線段為直徑的圓與橢圓交于點

所以

又點在橢圓上

所以,解得

所以橢圓的方程為

2)①因為直線與圓相切,所以,即

,消去

因為直線與橢圓相切,

所以

聯立(i)()得負值舍去

②取中點,連結,則,

,所以中點

,解得

所以

代入橢圓方程化簡得

,當時,取最大值3,此時.

,時,,,,

符合題意,故的最大值為3.

練習冊系列答案
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