Question

【題目】已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為9，最小值為1，記

（1）求實數(shù)，的值；

（2）若不等式成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）定義在上的函數(shù)，設(shè)，將區(qū)間任意劃分成個小區(qū)間，如果存在一個常數(shù)，使得和式恒成立，則稱函數(shù)為在上的有界變差函數(shù).試判斷函數(shù)是否為在上的有界變差函數(shù)？若是，求的最小值；若不是，請說明理由（表示）

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）是，最小值為10

【解析】

（1）由已知,根據(jù)二次函數(shù)對稱軸公式:,得的對稱軸為:,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及最值,即可得到關(guān)于,的方程組,進(jìn)而解得,的值;

（2）由（1）得參數(shù),的值,代入可得函數(shù)解析式,根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì),可將問題轉(zhuǎn)化為距離軸距離遠(yuǎn)近的問題,得到關(guān)于的方程,即可求得的取值范圍;

（3）根據(jù)有界變差函數(shù)的定義,我們先將區(qū)間進(jìn)行劃分,分成,兩個區(qū)間進(jìn)行分別判斷,進(jìn)而判斷是否恒成立,從而得出結(jié)論.

（1） ,是開口向上的二次函數(shù)

根據(jù)二次函數(shù)對稱軸公式:,得的對稱軸為:

由二次函數(shù)圖像可知在上是單調(diào)遞增故:,

得: 解得:

（2）

又 故為偶函數(shù)

畫出圖像:

由圖像可知要保證: 即:

則:或 解得: 或

所以實數(shù)的取值范圍為:.

（3） 函數(shù)為上的有界變差函數(shù)

又 函數(shù)為上的單調(diào)遞減函數(shù),在上是單調(diào)遞增函數(shù)

且對任意劃分:

有

恒成立.

且對任意劃分:

有

可得

綜上所述:存在常數(shù),使得恒成立,的最小值為.