【題目】已知直線l: (t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2.
(1)若點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(2, ),直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn),求|MA|+|MB|的值;
(2)設(shè)曲線C經(jīng)過(guò)伸縮變換 得到曲線C′,求曲線C′的內(nèi)接矩形周長(zhǎng)的最大值.

【答案】
(1)解:曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2,則曲線C的直角坐標(biāo)方程為:x2+y2=4,

直線l: ,轉(zhuǎn)化成普通方程為:y﹣ x+ =0,

設(shè)A,B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,

將直線l的參數(shù)方程帶入圓的直角坐標(biāo)方程x2+y2=4,

整理得:t2+5t+3=0,

∴t1+t2=﹣5,t1t2=3,

|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|= = ,


(2)解: 代入曲線C的方程得: ,

設(shè)曲線C′的內(nèi)接矩形周長(zhǎng)為P,曲線C′的內(nèi)接矩形的第一象限內(nèi)的頂點(diǎn)為N(x′,y′)(0<x<2 ,0<y<2),

x′2+3y′2=3,x′= ,

P=4x′+4y′=4 ,+4y′,

令f(y)=4 ,+4y′,

f′(y)= +4,

令f′(y′)=0得y=1,

當(dāng)0<y′<1時(shí),f′(y′)>0,當(dāng)1<y<1時(shí),f′(y′)<0.

∴當(dāng)y′=1時(shí),f(y′)取得最大值16.

曲線C′的內(nèi)接矩形周長(zhǎng)的最大值16


【解析】(1)求得曲線C的直角坐標(biāo)方程,把直線l代入圓的直角坐標(biāo)方程,化簡(jiǎn)后利用韋達(dá)定理可求t1+t2 , t1t2的值,由|MA|+|MB|=|t1﹣t2|= ,即可求得|MA|+|MB|的值;(2)設(shè)矩形的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(x′,y′),則根據(jù)x′,y′的關(guān)系消元得出P關(guān)于x(或y)的函數(shù),利用導(dǎo)數(shù),求出此函數(shù)的最大值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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B.(﹣4﹣2 ,﹣4+2
C.(﹣4+2 ,8]
D.(﹣4﹣2 ,﹣8]

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(1)求在這次選拔賽中,這三名運(yùn)動(dòng)員至少有一名出線的概率;

(2)記在這次選拔賽中,甲、乙、丙三名運(yùn)動(dòng)員所得分之和為隨機(jī)變量,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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【題目】某市在對(duì)學(xué)生的綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)中,將其測(cè)評(píng)結(jié)果分為“優(yōu)秀、合格、不合格”三個(gè)等級(jí),其中不小于80分為“優(yōu)秀”,小于60分為“不合格”,其它為“合格”.
(1)某校高二年級(jí)有男生500人,女生400人,為了解性別對(duì)該綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)結(jié)果的影響,采用分層抽樣的方法從高二學(xué)生中抽取了90名學(xué)生的綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)結(jié)果,其各個(gè)等級(jí)的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)如表:

等級(jí)

優(yōu)秀

合格

不合格

男生(人)

30

x

8

女生(人)

30

6

y

根據(jù)表中統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)填寫(xiě)下面2×2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)測(cè)評(píng)結(jié)果為優(yōu)秀與性別有關(guān)”?

男生

女生

總計(jì)

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

總計(jì)

臨界值表:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828


(2)以(1)中抽取的90名學(xué)生的綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)等級(jí)的頻率作為全市各個(gè)評(píng)價(jià)等級(jí)發(fā)生的概率,且每名學(xué)生是否“優(yōu)秀”相互獨(dú)立,現(xiàn)從該市高二學(xué)生中隨機(jī)抽取4人.
(i)求所選4人中恰有3人綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)為“優(yōu)秀”的概率;
(ii)記X表示這4人中綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)等級(jí)為“優(yōu)秀”的人數(shù),求X的數(shù)學(xué)期望.
附:參考數(shù)據(jù)與公式
參考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d.

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(1)過(guò)P點(diǎn)的圓的切線長(zhǎng).
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