已知a,b為常數(shù),a¹0,函數(shù).
(1)若a=2,b=1,求在(0,+∞)內(nèi)的極值;
(2)①若a>0,b>0,求證:在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù);
②若,,且在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù),求由所有點(diǎn)形成的平面區(qū)域的面積.
(1),(2)①詳見解析,②
解析試題分析:(1)求具體函數(shù)極值問題分三步,一是求導(dǎo),二是求根,三是列表,關(guān)鍵在于正確求出導(dǎo)數(shù),即;求根時(shí)需結(jié)合定義區(qū)間進(jìn)行取舍,如根據(jù)定義區(qū)間舍去負(fù)根;列表時(shí)需注意導(dǎo)數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間的符號(hào)變化規(guī)律,這樣才可得出正確結(jié)論,因?yàn)閷?dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定為極值點(diǎn),極值點(diǎn)附近導(dǎo)數(shù)值必須要變號(hào),(2)①利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)單調(diào)性,首先要正確轉(zhuǎn)化,如本題只需證到在區(qū)間[1,2]上成立即可,由得只需證到在區(qū)間[1,2]上,因?yàn)閷?duì)稱軸在區(qū)間[1,2]上單調(diào)增,因此只需證,而這顯然成立,②中條件“在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)”與①不同,它是要求在區(qū)間[1,2]上恒成立,結(jié)合二次函數(shù)圖像可得關(guān)于不等關(guān)系,再考慮,,可得可行域.
試題解析:(1)解: 2分
當(dāng)時(shí), ,
令得或(舍去) 4分
當(dāng)時(shí), 是減函數(shù),
當(dāng)時(shí),是增函數(shù)
所以當(dāng)時(shí),取得極小值為 6分
(2)令
①證明:二次函數(shù)的圖象開口向上,
對(duì)稱軸且 8分
對(duì)一切恒成立.
又對(duì)一切恒成立.
函數(shù)圖象是不間斷的,
在區(qū)間上是增函數(shù). 10分
②解:
即
在區(qū)間上是增函數(shù)
對(duì)恒成立.
則對(duì)恒成立.
12分
在(*)(**)的條件下,且
且恒成立.
綜上,點(diǎn)滿足的線性約束條件是 14分
由所有點(diǎn)形成的平面區(qū)域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/e2/c/bxf8f.png" style="vertical-align:middle;" /> (如圖所示),
其中
則
即的面積為. 16分
考點(diǎn):求函數(shù)極值,二次函數(shù)恒成立,線性規(guī)劃求面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知x=3是函數(shù)f(x)=aln(1+x)+x2-10x的一個(gè)極值點(diǎn).
(1)求a;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若直線y=b與函數(shù)y=f(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn),求b的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),其中.
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在處的切線方程;
(2)若函數(shù)在區(qū)間(1,2)上不是單調(diào)函數(shù),試求的取值范圍;
(3)已知,如果存在,使得函數(shù)在處取得最小值,試求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)若在x=處的切線與直線4x+y=0平行,求a的值;
(Ⅱ)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)若函數(shù)的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn),線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,現(xiàn)要在邊長(zhǎng)為的正方形內(nèi)建一個(gè)交通“環(huán)島”.正方形的四個(gè)頂點(diǎn)為圓心在四個(gè)角分別建半徑為(不小于)的扇形花壇,以正方形的中心為圓心建一個(gè)半徑為的圓形草地.為了保證道路暢通,島口寬不小于,繞島行駛的路寬均不小于.
(1)求的取值范圍;(運(yùn)算中取)
(2)若中間草地的造價(jià)為元,四個(gè)花壇的造價(jià)為元,其余區(qū)域的造價(jià)為元,當(dāng)取何值時(shí),可使“環(huán)島”的整體造價(jià)最低?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),.
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),.
(Ⅰ)若與在處相切,試求的表達(dá)式;
(Ⅱ)若在上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)證明不等式: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知是二次函數(shù),不等式的解集是,且在點(diǎn)處的切線與直線平行.
(1)求的解析式;
(2)是否存在t∈N*,使得方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根?
若存在,求出t的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),其中為常數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若任取,求函數(shù)在上是增函數(shù)的概率.
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