已知函數(shù),其中.
(1)當時,求函數(shù)處的切線方程;
(2)若函數(shù)在區(qū)間(1,2)上不是單調(diào)函數(shù),試求的取值范圍;
(3)已知,如果存在,使得函數(shù)處取得最小值,試求的最大值.

(1) (2) (3)

解析試題分析:(1) 利用導數(shù)求切線方程,關(guān)鍵在于理解切點的三個含義,一是在切點處的導數(shù)值為切線的斜率,二是切點在曲線上,即切點坐標滿足曲線方程,三是切點在直線上,即切點坐標滿足直線方程,有時這一條件用直線兩點間斜率公式表示.因為所以,再根據(jù)點斜式寫出切線方程. (2)利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,往往轉(zhuǎn)化為研究導函數(shù)為零時方程根的情況,本題函數(shù)在區(qū)間(1,2)上不是單調(diào)函數(shù),就轉(zhuǎn)化為在區(qū)間(1,2)上有不相等的根,可由實根分布列充要條件,也可利用變量分離結(jié)合圖象求函數(shù)對應區(qū)域范圍,(3)已知函數(shù)最值求參數(shù)取值范圍,可從恒成立角度出發(fā),實現(xiàn)等價轉(zhuǎn)化,也可分類討論求最值列等式.本題采取恒成立較好.轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)恒成立可從四個方面研究:一是開口方向,二是對稱軸,三是判別式,四是區(qū)間端點函數(shù)值的正負.
試題解析:(1)解:當時,,則,故 2分
又切點為,故所求切線方程為,即  4分
(2)由題意知,在區(qū)間(1,2)上有不重復的零點,
,得,因為,所以  7分令,則,故在區(qū)間(1,2)上是增函數(shù),所以其值域為,從而的取值范圍是    9分
(3),
由題意知恒成立,即恒成立,即  ①對恒成立    11分
時,①式顯然成立;
時,①式可化為    ②,
,則其圖象是開口向下的拋物線,所以      13分
,其等價于   ③ ,
因為③在時有解,所以,解得,
從而的最大值為        16分
考點:利用導數(shù)求切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,不等式恒成立.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知函數(shù), 
(1)若,求曲線處的切線方程;
(2)若對任意的,都有恒成立,求的最小值;
(3)設,,若,為曲線的兩個不同點,滿足,且,使得曲線處的切線與直線AB平行,求證:

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知f(x)=xln x,g(x)=x3ax2x+2.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求f(x)在區(qū)間[t,t+2](t>0)上的最小值;
(3)對一切的x∈(0,+∞),2f(x)<g′(x)+2恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

設函數(shù).
(1)當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當時,若恒成立,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知函數(shù), 在處取得極小值2.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)求函數(shù)的極值;
(3)設函數(shù), 若對于任意,總存在, 使得, 求實數(shù) 的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知函數(shù),其中.
(Ⅰ)若,求函數(shù)的極值點;
(Ⅱ)若在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

設函數(shù);
(Ⅰ)求證:函數(shù)上單調(diào)遞增;
(Ⅱ)設,若直線PQ∥x軸,求P,Q兩點間的最短距離.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知a,b為常數(shù),a¹0,函數(shù)
(1)若a=2,b=1,求在(0,+∞)內(nèi)的極值;
(2)①若a>0,b>0,求證:在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù);
②若,且在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù),求由所有點形成的平面區(qū)域的面積.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知函數(shù)
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若,在區(qū)間恒成立,求a的取值范圍.

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