Question

已知函數(shù)，.
（Ⅰ）若與在處相切，試求的表達(dá)式；
（Ⅱ）若在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ)證明不等式： .

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）（Ⅲ)見解析

解析試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，利用與在處相切，可求的表達(dá)式；
（Ⅱ） 在上是減函數(shù)，可得導(dǎo)函數(shù)小于等于 在上恒成立，分離參數(shù)，利用基本不等式，可求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)x≥2時(shí)，證明 ，當(dāng)x＞1時(shí)，證明 ，利用疊加法，即可得到結(jié)論．
試題解析：（Ⅰ）由于與在處相切
且   得：          2分
又 
                       3分
（Ⅱ）在上是減函數(shù)，
在上恒成立.         5分
即在上恒成立，由，
又   得          7分
（Ⅲ)由（Ⅱ）可得：當(dāng)時(shí)：在上是減函數(shù)
當(dāng)時(shí)： 即
所以 從而得到：          10分
當(dāng)時(shí)：
當(dāng)時(shí)：
當(dāng)時(shí)：
當(dāng)時(shí)：，
上述不等式相加得：


即.（）    12分
考點(diǎn)：1、不等式的證明；2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；3、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．