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如圖,在四棱錐中,底面是邊長為的正方形,,,且

(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)棱上是否存在一點,使直線與平面所成的角是?若存在,求的長;若不存在,請說明理由.
(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ);(Ⅲ)存在,

試題分析:(Ⅰ)先證平面可得。同理可證,最后根據線面垂直的判定定理可得平面。(Ⅱ)可建系用空間向量法,先求邊長得點的坐標即可得向量的坐標。先求面和面的法向量,再求兩個法向量所成角的余弦值。兩法向量所成的角與二面角相等或互補。需觀察圖像的二面角的余弦值。(Ⅲ)假設棱上存在點滿足條件。設。在(Ⅱ)以求出面的法向量,根據線面角的定義可知直線與平面所成的角正弦值等于與面的法向量所成角的余弦值的絕對值。列式求,若則說明假設成立,否則假設不成立。
試題解析:(Ⅰ)證明:在正方形中,.
因為,,
所以 平面.                                      1分
因為 平面,
所以 .                                            2分
同理,
因為 ,
所以 平面.                                    3分
(Ⅱ)解:連接,由(Ⅰ)知平面

因為平面,
所以.                                            4分
因為,
所以
分別以,,所在的直線分別為,,軸,建立空間直角坐標系,如圖所示.
由題意可得:,,,
所以,
設平面的一個法向量,
 即 令,得.
所以
同理可求:平面的一個法向量.                6分
所以
所以二面角的余弦值為.                      8分
(Ⅲ)存在.理由如下:
若棱上存在點滿足條件,設,
所以.       9分
因為平面的一個法向量為
所以
解得:.
經檢驗
所以棱上存在點,使直線與平面所成的角是,此時的長為.                  11分
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,矩形所在的平面與正方形所在的平面相互垂直,的中點.

(1)求證:∥平面;
(2)求證:平面⊥平面.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在四棱錐中,底面是邊長為的正方形, ,且點滿足 .

(1)證明:平面 .
(2)在線段上是否存在點,使得平面?若存在,確定點的位置,若不存在請說明理由 .

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面為正方形,O1、O分別為上、下底面的中心,且A1在底面ABCD上的射影是O。

(Ⅰ)求證:平面O1DC⊥平面ABCD;
(Ⅱ)若∠A1AB=60°,求平面BAA1與平面CAA1的夾角的余弦值。

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

給出下列命題:
垂直于同一直線的兩直線平行.
同平行于一平面的兩直線平行.
同平行于一直線的兩直線平行.
平面內不相交的兩直線平行.
其中正確的命題個數是(    )
A.1B.2C.3D.4

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

下列命題中錯誤的是 (  ).
A.如果平面α⊥平面β,那么平面α內一定存在直線平行于平面β
B.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α內一定不存在直線垂直于平面β
C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γαβl,那么l⊥平面γ
D.如果平面α⊥平面β,那么平面α內所有直線都垂直于平面β

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:填空題

在四面體ABCD中,有如下結論:
①若,則;
②若分別是的中點,則的大小等于異面直線所成角的大;
③若點是四面體外接球的球心,則在面上的射影為的外心;
④若四個面是全等的三角形,則為正四面體.
其中所有正確結論的序號是          .

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:填空題

已知直線,和平面,給出下列四個命題:

其中真命題的有________(請?zhí)顚懭空_命題的序號)

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

是不同的直線,是不同的平面,下列命題中正確的是(    )
A.若,則
B.若,則
C.若,則
D.若,則

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