如圖,已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面為正方形,O1、O分別為上、下底面的中心,且A1在底面ABCD上的射影是O。

(Ⅰ)求證:平面O1DC⊥平面ABCD;
(Ⅱ)若∠A1AB=60°,求平面BAA1與平面CAA1的夾角的余弦值。
(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)平面與平面的夾角的余弦值為

試題分析:(Ⅰ)求證平面平面,證明面面垂直,先證線面垂直,即證一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線,注意到在底面上的射影是,即平面,由圖像可知只需證明即可,因此可連,則的交點(diǎn),易知四邊形為平行四邊形,從而得,這樣就得平面,由面面垂直的判定定理可得結(jié)論;(Ⅱ)平面與平面的夾角的余弦值,可用傳統(tǒng)方法,找二面角的平面角,過點(diǎn),垂足為,連接,由三垂線定理得,∴為二面角的平面角,在中求出此角即可;也可用空間向量法,如圖分別以軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別找出兩個(gè)半平面的法向量,利用法向量來求平面與平面的夾角的余弦值.
試題解析:(Ⅰ)連結(jié)AC,BD, A1C1,則O為AC,BD的交點(diǎn)O1為A1C1,B1D1的交點(diǎn)。
由平行六面體的性質(zhì)知:A1O1∥OC且A1O1=OC,四邊形A1OCO1為平行四邊形,      (2分)
A1O∥O1C. 又∵A1O⊥平面ABCD,O1C⊥平面ABCD,             (4分)
又∵O1C平面O1DC, 平面O1DC⊥平面ABCD。       (6分)

(Ⅱ)由題意可知RtA1OB≌RtA1OA,則A1A=A1B,
又∠A1AB=600,故A1AB是等邊三角形。                  (7分)
不妨設(shè)AB="a," 則在RtA1OA中,OA=a, AA1="a," OA1=a,
如圖分別以O(shè)B,OC,OA1為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則可得坐標(biāo)為A(0,-a,0), B(a,0,0), A1(0,0,,a)         (8分)
=(a,a,0),  =(-a,0,a)
設(shè)平面ABA1的法向量為=(x,y,z)
則由·=0得x+y=0,由·=0得x-z=0
令x=1得=(1,-1,1)                                      (10分)
又知BD⊥平面ACC1A1,故可得平面CAA1的一個(gè)法向量為=(1,0,0)
cosθ=||=
從而平面BAA1與平面CAA1的夾角的余弦值為。         (12分)
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