【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為， ，且經(jīng)過點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）的頂點(diǎn)都在橢圓上，其中關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，試問能否為正三角形？并說明理由.

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 不可能為正三角形，理由見解析.

【解析】試題分析：

(Ⅰ)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，依題意得，利用橢圓的定義可得，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(Ⅱ)若為正三角形，則且，

顯然直線的斜率存在且不為0，設(shè)方程為，聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得， ，則，同理可得.據(jù)此可得關(guān)于實(shí)數(shù)k的方程，方程無解，則不可能為正三角形.

試題解析：

(Ⅰ)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

依題意得，

，

所以， ，

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(Ⅱ)若為正三角形，則且，

顯然直線的斜率存在且不為0，

設(shè)方程為，

則的方程為，聯(lián)立方程，

解得， ，

所以，

同理可得.

又，所以，

化簡(jiǎn)得無實(shí)數(shù)解，

所以不可能為正三角形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】各棱長(zhǎng)都等于4的四面ABCD中，設(shè)G為BC的中點(diǎn)，E為△ACD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（含邊界），且GE∥平面ABD，若 =1，則| |= ．

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【題目】某公司的管理者通過公司近年來科研費(fèi)用支出x(百萬(wàn)元)與公司所獲得利潤(rùn)y(百萬(wàn)元)的散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)，y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系，具體數(shù)據(jù)如下表：

年份

2010

2011

2012

2013

2014

科研費(fèi)用x(百萬(wàn)元)

1.6

1.7

1.8

1.9

2.0

公司所獲利潤(rùn)y(百萬(wàn)元)

1

1.5

2

2.5

3

(1)求y關(guān)于x的回歸直線方程；

(2)若該公司的科研投入從2011年開始連續(xù)10年每一年都比上一年增加10萬(wàn)元，預(yù)測(cè)2017年該公司可獲得的利潤(rùn)約為多少萬(wàn)元．

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【題目】已知命題；命題：函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù).

（1）若命題為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若命題“或”為真命題，且“且”為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且 ，在數(shù)列中，，點(diǎn)在直線上．

（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；

（2）記，求.

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【題目】設(shè)橢圓C： =1的離心率e= ，動(dòng)點(diǎn)P在橢圓C上，點(diǎn)P到橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和是4．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若橢圓C1的方程為 =1（m＞n＞0），橢圓C2的方程為 =λ（λ＞0，且λ≠1），則稱橢圓C2是橢圓C1的λ倍相似橢圓．已知橢圓C2是橢圓C的3倍相似橢圓．若過橢圓C上動(dòng)點(diǎn)P的切線l交橢圓C2于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試證明當(dāng)切線l變化時(shí)|PA|=|PB|并研究△OAB面積的變化情況．

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【題目】已知向量，，，其中0<α<x<π.

（1）若α＝，求函數(shù)的最小值及相應(yīng)x的值；

（2）若與的夾角為，且，求tan 2α的值．

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【題目】已知直線l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ= ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正方向建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)M（﹣1，0），直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）寫出直線l的極坐標(biāo)方程與曲線C的普通方程；
（Ⅱ）求線段MA、MB長(zhǎng)度之積MAMB的值．

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【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=|x﹣2|+|x+a|（a∈R）．
（1）若a=1時(shí)，求不等式f（x）≥4的解集；
（2）若不等式f（x）≤2x的解集為[1，+∞），求a的值．

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