【題目】已知向量,,,其中0<α<x<π.

(1)若α=,求函數(shù)的最小值及相應(yīng)x的值;

(2)若的夾角為,且,求tan 2α的值.

【答案】(1) 最小值為,相應(yīng)的值為; (2) .

【解析】

(1)根據(jù)向量點(diǎn)乘表示出函數(shù)f(x)的解析式后令t=sinx+cosx轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)解題.
(2)根據(jù)的夾角為 ,確定 ,再由可知向量整理可得sin(x+α)+2sin2α=0,再將代入即可得到答案.

(1)∵b=(cos x,sin x),

c=(sin x+2sin α,cos x+2cos α),α=,

∴f(x)=b·c

=cos xsin x+2cos xsin α+sin xcos x+2sin xcos α

=2sin xcos x+ (sin x+cos x).

令t=sin x+cos x,

則2sin xcos x=t2-1,且-1<t<.

則y=t2t-1=2,-1<t<,

∴當(dāng)t=-時,ymin=-,此時sin x+cos x=-

sin=-,

<x<π,∴<x+<,

∴x+,∴x=.

∴函數(shù)f(x)的最小值為-,相應(yīng)x的值為.

(2)∵a與b的夾角為

∴cos=cos αcos x+sin αsin x=cos(x-α).

∵0<α<x<π,∴0<x-α<π,∴x-α=.

∵a⊥c,∴cos α(sin x+2sin α)+sin α(cos x+2cos α)=0,

∴sin(x+α)+2sin 2α=0,即sin+2sin 2α=0.

sin 2α+cos 2α=0,∴tan 2α=-.

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(2)當(dāng)為多少時,矩形草坪的面積最大?

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