【題目】設橢圓C: =1的離心率e= ,動點P在橢圓C上,點P到橢圓C的兩個焦點的距離之和是4.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若橢圓C1的方程為 =1(m>n>0),橢圓C2的方程為 =λ(λ>0,且λ≠1),則稱橢圓C2是橢圓C1的λ倍相似橢圓.已知橢圓C2是橢圓C的3倍相似橢圓.若過橢圓C上動點P的切線l交橢圓C2于A,B兩點,O為坐標原點,試證明當切線l變化時|PA|=|PB|并研究△OAB面積的變化情況.
【答案】解:(Ⅰ)依題意,e= = ,
由橢圓的定義可得2a=4,即a=2,
即有c=1,b2=a2﹣c2=3,
則橢圓C方程為: =1;
(Ⅱ)橢圓C的3倍相似橢圓C2的方程為: =3;
①若切線l垂直于x軸,則其方程為:x=±2,解得y=± ,
顯然|PA|=|PB|,|AB|=2 ,△OAB面積為 ×2×2 =2 ;
②若切線l不垂直于x軸,可設其方程為:y=kx+m.
將y=kx+m代人橢圓C方程,得:(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0,
△=(8km)2﹣4(3+4k2)(4m2﹣12)=48(4k2+3﹣m2)=0,
即m2=4k2+3,
設A,B兩點的坐標分別是(x1 , y1),(x2 , y2),
將y=kx+m代入橢圓C2的方程,得:(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣36=0,
此時x1+x2=﹣ ,x1x2= ,
則AB的中點為(﹣ , ),即為(﹣ , ),
代入橢圓C的方程,可得 + = = =1,
滿足橢圓方程,則|PA|=|PB|成立;
即有|AB|= |x1﹣x2|=
=
= = .
又點O到直線l的距離d= ,
可得S△OAB= |AB|d=2 ,
綜上,當切線l變化時,△OAB的面積為定值2
【解析】(Ⅰ)由橢圓的定義可得a=2,再由離心率公式和a,b,c的關系,即可得到b,進而得到橢圓方程;(Ⅱ)依題意,求得橢圓C2方程,討論直線的斜率不存在,得到|PA|=|PB|和面積為定值;當切線l的斜率存在時,設l的方程為:y=kx+m,代入橢圓C2方程,運用韋達定理和中點坐標公式,可得|PA|=|PB|,由弦長公式,和點到直線的距離公式,結合面積公式,計算即可得到面積為定值.
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【題目】先后拋擲兩枚骰子,設出現(xiàn)的點數(shù)之和是12,11,10的概率依次是P1,P2,P3,則( )
(A)P1=P2<P3 (B)P1<P2<P3 (C)P1<P2=P3 (D)P3=P2<P1
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【題目】某險種的基本保費為a(單位:元),繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關聯(lián)如下:
上年度出險次數(shù) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ≥5 |
保費 | 0.85a | a | 1.25a | 1.5a | 1.75a | 2a |
隨機調查了該險種的200名續(xù)保人在一年內的出險情況,得到如下統(tǒng)計表:
出險次數(shù) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ≥5 |
頻數(shù) | 60 | 50 | 30 | 30 | 20 | 10 |
(1)記A為事件:“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”,求P(A)的估計值;
(2)記B為事件:“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”,求P(B)的估計值;
(3)求續(xù)保人本年度平均保費的估計值.
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【題目】給定集合A={a1 , a2 , a3 , …,an}(n∈N* , n≥3)中,定義ai+aj(1≤i<j≤n,i,j∈N*)中所有不同值的個數(shù)為集合A兩元素和的容量,用L(A)表示.若數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列,設集合A={a1 , a2 , a3 , …,a2016},則L(A)= .
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【題目】已知橢圓的兩個焦點分別為, ,且經過點.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)的頂點都在橢圓上,其中關于原點對稱,試問能否為正三角形?并說明理由.
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【題目】如圖, 已知四邊形ABCD和BCEG均為直角梯形,AD∥BC,CE∥BG,且,平面ABCD⊥平面BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG=2.
(1)求證:EC⊥CD;
(2)求證:AG∥平面BDE;
(3)求:幾何體EG-ABCD的體積.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=2cos2ωx+ sin2ωx(ω>0)的最小正周期為π,給出下列四個命題:
①f(x)的最大值為3;
②將f(x)的圖象向左平移 后所得的函數(shù)是偶函數(shù);
③f(x)在區(qū)間[﹣ , ]上單調遞增;
④f(x)的圖象關于直線x= 對稱.
其中正確說法的序號是( )
A.②③
B.①④
C.①②④
D.①③④
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【題目】設函數(shù)f(x)=ax2-1-lnx,其中a∈R.
(1)若a=0,求過點(0,-1)且與曲線y=f(x)相切的直線方程;
(2)若函數(shù)f(x)有兩個零點x1,x2,
① 求a的取值范圍;
② 求證:f ′(x1)+f ′(x2)<0.
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