Question

【題目】已知數(shù)列、滿足，，，．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：；

（Ⅲ）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：當(dāng)時(shí)，．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析；（Ⅲ）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（Ⅰ）推導(dǎo)出數(shù)列，可得出，利用基本不等式可得出，再由可得出，利用作差法證得，進(jìn)而可證得結(jié)論；

（Ⅱ）由可得出，結(jié)合可推導(dǎo)出，進(jìn)而得出，再利用放縮法可證得結(jié)論成立；

（Ⅲ）由可推導(dǎo)出，進(jìn)而可得出，再利用累加法及等比數(shù)列的求和公式即可證明．

（Ⅰ）因?yàn)?/span>，則為常數(shù)數(shù)列，

又，，且，則，

故，，易知，

所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），

因?yàn)?/span>，因此．

又，所以；

（Ⅱ）由，有，

又，則，則；

故，即，

所以，

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，

因此，的前項(xiàng)和；

（Ⅲ）由，得，

又，則，故，

所以，

因此，的前項(xiàng)和．