【題目】已知拋物線C:y2=2x,過點E(a,0)的直線l與C交于不同的兩點P(x1,y1),Q(x2,y2),且滿足y1y2=﹣4,以Q為中點的線段的兩端點分別為M,N,其中N在x軸上,M在C上,則a=_____.|PM|的最小值為_____.
【答案】2 4
【解析】
過點E(a,0)的直線l的方程設(shè)為x=my+a,代入拋物線的方程,運用韋達(dá)定理,結(jié)合條件,解方程可得a的值;再設(shè)直線PM的方程為x=ny+b,聯(lián)立拋物線方程,設(shè)M(x3,y3),運用韋達(dá)定理和中點坐標(biāo)公式,可得b=4,再由弦長公式和二次函數(shù)的最值求法,可得所求最小值.
過點E(a,0)的直線l的方程設(shè)為x=my+a,代入拋物線方程y2=2x,可得y2﹣2my﹣2a=0,
所以y1+y2=2m,y1y2=﹣2a=﹣4,可得a=2;
設(shè)直線PM的方程為x=ny+b,聯(lián)立拋物線方程y2=2x,
可得y2﹣2ny﹣2b=0,
設(shè)M(x3,y3),所以y1+y3=2n,y1y3=﹣2b,
由Q為MN的中點,且N在x軸上,可得y3=2y2,
即有2y1y2=﹣2b=﹣8,可得b=4,
則|PM|2
24,
當(dāng)n=0即PM⊥x軸時,|PM|取得最小值4.
故答案為:2;4.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列、滿足,,,.
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列的前項和為,求證:;
(Ⅲ)設(shè)數(shù)列的前項和為,求證:當(dāng)時,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)若,求證:有且只有兩個零點
(2)有兩個極值點,且不等式恒成立,試求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知頂點為原點的拋物線,焦點在軸上,直線與拋物線交于、兩點,且線段的中點為.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)若直線與拋物線交于異于原點的、兩點,交軸的正半軸于點,且有,直線,且和有且只有一個公共點,請問直線是否恒過定點?若是,求出定點坐標(biāo);若不是,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某數(shù)學(xué)教師在甲、乙兩個平行班采用“傳統(tǒng)教學(xué)”和“高效課堂”兩種不同的教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)實驗.為了解教改實效,期中考試后,分別從兩個班中各隨機抽取名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行統(tǒng)計,得到如下的莖葉圖:
(Ⅰ)求甲、乙兩班抽取的分?jǐn)?shù)的中位數(shù),并估計甲、乙兩班數(shù)學(xué)的平均水平和分散程度(不要求計算出具體值,給出結(jié)論即可);
(Ⅱ)若規(guī)定分?jǐn)?shù)在的為良好,現(xiàn)已從甲、乙兩班成績?yōu)榱己玫耐瑢W(xué)中,用分層抽樣法抽出位同學(xué)進(jìn)行問卷調(diào)查,求這位同學(xué)中恰含甲、乙兩班所有分以上的同學(xué)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】冠狀病毒是一個大型病毒家族,已知的有中東呼吸綜合征(MERS)和嚴(yán)重急性呼吸綜合征(SARS)等較嚴(yán)重的疾病,新型冠狀病毒(nCoV)是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株,某小區(qū)為進(jìn)一步做好新型冠狀病毒肺炎疫情知識的教育,在小區(qū)內(nèi)開展“新型冠狀病毒防疫安全公益課”在線學(xué)習(xí),在此之后組織了“新型冠狀病毒防疫安全知識競賽”在線活動.已知進(jìn)入決賽的分別是甲、乙、丙、丁四位業(yè)主,決賽后四位業(yè)主相應(yīng)的名次為第1,2,3,4名,該小區(qū)為了提高業(yè)主們的參與度和重視度,邀請小區(qū)內(nèi)的所有業(yè)主在比賽結(jié)束前對四位業(yè)主的名次進(jìn)行預(yù)測,若預(yù)測完全正確將會獲得禮品,現(xiàn)用表示某業(yè)主對甲、乙、丙、丁四位業(yè)主的名次做出一種等可能的預(yù)測排列,記.
(1)求出的所有可能情形;
(2)若會有小禮品贈送,求該業(yè)主獲得小禮品的概率,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某快遞公司招聘快遞騎手,該公司提供了兩種日工資方案:方案(1)規(guī)定每日底薪50元,快遞騎手每完成一單業(yè)務(wù)提成3元:方案(2)規(guī)定每日底薪100元,快遞業(yè)務(wù)的前44單沒有提成,從第45單開始,每完成一單提成5元.該快遞公司記錄了每天騎手的人均業(yè)務(wù)量.現(xiàn)隨機抽取100天的數(shù)據(jù),將樣本數(shù)據(jù)分為七組,整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)隨機選取一天,估計這一天該快遞公司的騎手的人均日快遞業(yè)務(wù)量不少于65單的概率;
(Ⅱ)若騎手甲、乙、丙選擇了日工資方案(1),丁、戊選擇了日工資方案(2).現(xiàn)從上述5名騎手中隨機選取2人,求至少有1名騎手選擇方案(2)的概率;
(Ⅲ)若僅從人均日收入的角度考慮,請你利用所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)知識為新聘騎手做出日工資方案的選擇,并說明理由(同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替)
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