Question

已知（

3	x2

+3x²）ⁿ展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)的和比它的二項(xiàng)式系數(shù)的和大992．
（Ⅰ）求n；
（Ⅱ）求展開(kāi)式中x⁶的項(xiàng)；
（Ⅲ）求展開(kāi)式系數(shù)最大項(xiàng)．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：二項(xiàng)式定理

分析：（Ⅰ）由題意可得 （1+3）ⁿ-2ⁿ=992，由此求得n的值．
（Ⅱ）在展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于6，求得r的值，可得展開(kāi)式中x⁶的項(xiàng)．
（Ⅲ）設(shè)展開(kāi)式系數(shù)最大項(xiàng)為第r+1項(xiàng)，則有

C r 5 •3r ≥C r+1 5 •3r+1 C r 5 •3r ≥C r-1 5 •3r-1

，求得r的值，可得結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可得 （1+3）ⁿ-2ⁿ=992，即（2ⁿ-32）（2ⁿ+31）=0，解得 n=5．
（Ⅱ）（

3	x2

+3x²）ⁿ=（

3	x2

+3x²）⁵展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)_r+1=

C

r 5

•3^r•x

10+4r

3

，
令

10+4r

3

=6，求得r=2，故開(kāi)式求展開(kāi)式中x⁶的項(xiàng)為

C

2 5

×9•x⁶=90x⁶．
（Ⅲ）設(shè)展開(kāi)式系數(shù)最大項(xiàng)為第r+1項(xiàng)，則有

C r 5 •3r ≥C r+1 5 •3r+1 C r 5 •3r ≥C r-1 5 •3r-1

，
解得r=4，故第5項(xiàng)的系數(shù)最大為

C

4 5

•3⁴ x

26

3

=405x

26

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．