Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁，且E是BC中點．
（Ⅰ）求證：AC⊥A₁B；
（Ⅱ）求證：B₁C⊥平面AEC₁．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）證明AC⊥平面ABB₁A₁，可得AC⊥A₁B；
（Ⅱ）根據(jù)直棱柱的性質(zhì)，側(cè)棱與側(cè)面都與底面垂直，可證平面內(nèi)的AE與B₁C垂直；利用平面幾何與三角函數(shù)知識，證C₁E與B₁C垂直；再由線線垂直⇒線面垂直．

解答： 證明：（Ⅰ）∵∠BAC=90°，
∴AC⊥AB，
∵AC⊥AA₁，AB∩AA₁=A，
∴AC⊥平面ABB₁A₁，
∴AC⊥A₁B
（Ⅱ）∵AB=AC，E是BC的中點，∴AE⊥BC
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BB₁C₁C，
∴AE⊥平面BB₁C₁C，B₁C?平面BB₁C₁C，
∴B₁C⊥AE
在矩形BCC₁B₁中，tan∠CB₁C₁=tan∠EC₁C=

2

2

，
∵∠CB₁C₁+∠B₁CC₁=

π

2

∴∠B₁CC₁+∠EC₁C═

π

2

，
∴B₁C⊥EC₁，
又AE∩EC₁=E，
∴B₁C⊥平面AEC₁．

點評：本題考查線面垂直的判定．在證明（II）時，利用三角函數(shù)知識與平面幾何知識證線線垂直也是常用方法．