【題目】已知函數(shù),.

1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

2)證明:函數(shù)在定義域上只有一個(gè)零點(diǎn)

【答案】1)答案見解析;(2)證明見解析.

【解析】

1)首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),令,再對(duì)分類討論可得;

2)由(1)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理,分類討論計(jì)算可得;

解:(1,

,易知,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,

①當(dāng)時(shí),,故單調(diào)遞減;

②當(dāng)時(shí),令,令,

,單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;

③當(dāng)時(shí),令,令,

,單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.

綜上,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.

2)由(1)知,①當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;

,

,即,故函數(shù)上只有一個(gè)零點(diǎn).

②當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;故的極小值為,因此上無零點(diǎn);的極大值為,又,,故上有一個(gè)零點(diǎn),因此,函數(shù)上只有一個(gè)零點(diǎn).

③當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.故的極小值為,又,,故上有一個(gè)零點(diǎn),的極大值為,又,故上無零點(diǎn),因此,函數(shù)上只有一個(gè)零點(diǎn).

綜上,函數(shù)上只有一個(gè)零點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(1)若,則當(dāng)時(shí),討論的單調(diào)性;

(2)若,且當(dāng)時(shí),不等式在區(qū)間上有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

1)若函數(shù) 處的切線方程為,求實(shí)數(shù)的值;

2)設(shè),當(dāng)時(shí),求的最小值;

3)求證:.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】健身館某項(xiàng)目收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為每次60元,現(xiàn)推出會(huì)員優(yōu)惠活動(dòng):具體收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下:

消費(fèi)次數(shù)

1

2

3

不少于4

收費(fèi)比例

0.95

0.90

0.85

0.80

現(xiàn)隨機(jī)抽取了100位會(huì)員統(tǒng)計(jì)它們的消費(fèi)次數(shù),得到數(shù)據(jù)如下:

消費(fèi)次數(shù)

1

2

3

不少于4

頻數(shù)

60

25

10

5

假設(shè)該項(xiàng)目的成本為每次30元,根據(jù)給出的數(shù)據(jù)回答下列問題:

1)估計(jì)1位會(huì)員至少消費(fèi)兩次的概率

2)某會(huì)員消費(fèi)4次,求這4次消費(fèi)獲得的平均利潤(rùn);

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】袋中裝有黑球和白球共7個(gè),從中任取2個(gè)球都是白球的概率為,現(xiàn)有甲,乙二人從袋中輪流摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再取,……,取后不放回,直到兩人中有一人取到白球即終止,每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的.

(Ⅰ)求袋中原有白球的個(gè)數(shù):

(Ⅱ)求取球次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著,它在幾何學(xué)中的研究比西方早1000多年,在《九章算術(shù)》中,將底面為直角三角形,且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵(qian du);陽馬指底面為矩形,一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐,鱉膈(bie nao)指四個(gè)面均為直角三角形的四面體.如圖在塹堵中,.

(1)求證:四棱錐為陽馬;

(2)若,當(dāng)鱉膈體積最大時(shí),求銳二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】2020年春季,某出租汽車公司決定更換一批新的小汽車以代替原來報(bào)廢的出租車,現(xiàn)有采購成本分別為萬元/輛和萬元/輛的兩款車型,根據(jù)以往這兩種出租車車型的數(shù)據(jù),得到兩款出租車車型使用壽命頻數(shù)表如下:

1)填寫下表,并判斷是否有的把握認(rèn)為出租車的使用壽命年數(shù)與汽車車型有關(guān)?

2)從的車型中各隨機(jī)抽取車,以表示這車中使用壽命不低于年的車數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;

3)根據(jù)公司要求,采購成本由出租公司負(fù)責(zé),平均每輛出租車每年上交公司萬元,其余維修和保險(xiǎn)等費(fèi)用自理.假設(shè)每輛出租車的使用壽命都是整數(shù)年,用頻率估計(jì)每輛出租車使用壽命的概率,分別以這輛出租車所產(chǎn)生的平均利潤(rùn)作為決策依據(jù),如果你是該公司的負(fù)責(zé)人,會(huì)選擇采購哪款車型?

附:,.

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρsinθ2

1M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在線段OM上,且滿足,求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程;

2)曲線C2上兩點(diǎn)與點(diǎn)Bρ2,α),求△OAB面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù)),直線,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

1)求直線l和曲線C的極坐標(biāo)方程;

2)若直線與直線l相交于點(diǎn)A,與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)M,N.的最小值.

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