【題目】《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著,它在幾何學(xué)中的研究比西方早1000多年,在《九章算術(shù)》中,將底面為直角三角形,且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵(qian du);陽馬指底面為矩形,一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐,鱉膈(bie nao)指四個(gè)面均為直角三角形的四面體.如圖在塹堵中,.

(1)求證:四棱錐為陽馬;

(2)若,當(dāng)鱉膈體積最大時(shí),求銳二面角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析;(2).

【解析】

(1)按照題目定義,只要證明即可,而由即可證出;

(2)先根據(jù)基本不等式求出當(dāng)時(shí),鱉膈體積最大,然后建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)向量法即可求出銳二面角的余弦值.

(1)底面

,

又四邊形為矩形

∴四棱錐為陽馬.

(2),,∴

又∵底面

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取最大值

底面

∴以A為原點(diǎn),建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系

,,

,,

設(shè)面的一個(gè)法向量

同理得

二面角的余弦值為

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根據(jù)圖中甲、乙兩省的數(shù)字特征進(jìn)行比對,通過比較把你得到最重要的兩個(gè)結(jié)論寫在答案紙指定的空白處.

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