Question

已知a、b、c是平面α內(nèi)相交于一點(diǎn)O的三條直線，而直線l和α相交，并且和a、b、c三條直線成等角．
求證：l⊥α

Answer 1

證法一：分別在a、b、c上取點(diǎn)A、B、C并使AO = BO = CO．設(shè)l經(jīng)過O，在l上取一點(diǎn)P，在△POA、△POB、△POC中，
∵PO公用，AO = BO = CO，∠POA =∠POB=∠POC，
∴△POA≌△POB≌△POC
∴PA = PB = PC．取AB中點(diǎn)D．連結(jié)OD、PD，則OD⊥AB，PD⊥AB，
∵
∴ AB⊥平面POD
∵PO平面POD．
∴PO⊥AB．
同理可證 PO⊥BC
∵，，
∴ PO⊥α，即l⊥α
若l不經(jīng)過O時(shí)，可經(jīng)過O作∥l．用上述方法證明⊥α，
∴l⊥α．
證法二：采用反證法
假設(shè)l不和α垂直，則l和α斜交于O．
同證法一，得到PA = PB = PC．
過P作于，則，O是△ABC的外心．因?yàn)?i>O也是△ABC的外心，這樣，△ABC有兩個(gè)外心，這是不可能的．
∴假設(shè)l不和α垂直是不成立的．
∴l⊥α
若l不經(jīng)過O點(diǎn)時(shí)，過O作∥l，用上述同樣的方法可證⊥α，
∴l⊥α
評述：（1）證明線面垂直時(shí)，一般都采用直接證法（如證法一），有時(shí)也采用反證法（如證法二）或同一法．