如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4．
（1）求證：AC⊥BC1；
（2）在AB上是否存在點(diǎn)D，使得AC1∥平面CDB1，若存在，確定D點(diǎn)位置并說明理由，若不存在，說明理由．
（1）證明：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AC，BC，CC1兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CA，CB，CC1分別為x軸y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4）．

∵
AC
=（-3，0，0），
BC1
=（0，-4，4），∴
AC
•
BC1
=0，即
AC
⊥
BC1
，
∴AC⊥BC1．
（2）假設(shè)在AB上存在點(diǎn)D使得AC1∥平面CDB1，則
AD
=λ
AB
=（-3λ，4λ，0），其中0≤λ≤1，則D（3-3λ，4λ，0），
B1D
=（3-3λ，4λ-4，-4），
又
B1C
=（0，-4，-4），
AC1
=（-3，0，4），AC1∥平面CDB1，所以存在實(shí)數(shù)m，n，使
AC1
=m
B1D
+n
B1C
成立，
∴m（3-3λ）=-3，m（4λ-4）-4n=0，-4m-4n=4，
所以λ=
1
2
，所以在AB上存在點(diǎn)D使得AC1∥平面CDB1，且D為AB的中點(diǎn)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

求證：三個(gè)平面兩兩互相垂直，其中兩個(gè)平面的交線必與第三個(gè)平面垂直．
 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四面體中，，，且分別為的中點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得∥平面？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知a、b、c是平面α內(nèi)相交于一點(diǎn)O的三條直線，而直線l和α相交，并且和a、b、c三條直線成等角．
求證：l⊥α

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

關(guān)于直線m、n和平面a、b有個(gè)命題：
①當(dāng)m∥a，n∥b，a∥b時(shí)，m∥n　　　�、诋�(dāng)m∥n，mÌa，n⊥b時(shí)，a⊥b
③當(dāng)a∩b = m，m∥n時(shí)，n∥a且n∥b　�、墚�(dāng)m⊥n，a∩b = m時(shí)，n⊥a或n⊥b,
其中假命題的序號(hào)是                   。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，直棱柱（側(cè)棱垂直于底面的棱柱）ABC-A1B1C1，在底面ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M，N分別為A1B1，A1A的中點(diǎn)．
（1）求cos＜
BA1
，
CB1
＞的值；
（2）求證：BN⊥平面C1MN．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于O，AB=4，AD=3．沿AC把△ACD折起，使二面角D1-AC-B為直二面角．
（1）求直線AD1與直線DC所成角的余弦值；
（2）求二面角A-DD1-C的平面角正弦值大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=2，DD1=2
2
，則AC1與面BDD1所成角的大小是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，∠ABC=
π
4
，PA⊥底面ABCD，PA=2，M為PA的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)．AF⊥CD于F，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．
（Ⅰ）求出平面PCD的一個(gè)法向量并證明MN∥平面PCD；
（Ⅱ）求二面角P-CD-A的余弦值．

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