【題目】F1,F2是雙曲線的兩個焦點

(1)若雙曲線上一點M到左焦點F1的距離等于7,求點M到右焦點F2的距離;

(2)若P是雙曲線左支上的點,且|PF1|·|PF2|=32,試求△F1PF2的面積.

【答案】(1);(2).

【解析】

(1)根據(jù)雙曲線的定義解答;

(2)利用雙曲線的方程求得|F1F2|和|PF1||PF2|,進而利用配方法求得|PF1|2+|PF2|2的值代入余弦定理求得cosF1PF2 的值進而求得∠F1PF2從而得到三角形的面積.

解:(1)由雙曲線的定義得||MF1|-|MF2||=2a=6,

又雙曲線上一點M到它左焦點的距離等于7,假設(shè)點M到右焦點的距離等于x,

|7-x|=6,解得x=1x=13.

由于ca=5-3=2,1<2,13>2,

故點M到另一個焦點的距離為13.

(2)將||PF2|-|PF1||=2a=6,兩邊平方得

|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36,

∴|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.

在△F1PF2中,由余弦定理得cos∠F1PF2

=0,

∴∠F1PF2=90°,

F1PF2的面積為|PF1|·|PF2|=×32=16.

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