【題目】如圖,已知等邊△ABC中,E,F(xiàn)分別為AB,AC邊的中點,N為BC邊上一點,且CN= BC,將△AEF沿EF折到△A′EF的位置,使平面A′EF⊥平面EF﹣CB,M為EF中點.
(1)求證:平面A′MN⊥平面A′BF;
(2)求二面角E﹣A′F﹣B的余弦值.
【答案】
(1)證明:如圖所示,取BC的中點G,連接MG,則MG⊥EF,
∵平面A′EF⊥平面EFCB,平面A′EF∩平面EFCB=EF,
∴MG⊥平面A′EF,∴MG⊥A′M,又A′M⊥EF,
因此可以建立空間直角坐標系.不妨設BC=4.
M(0,0,0),A′(0,0, ),N(﹣1, ,0),
B(2, ,0),F(xiàn)(﹣1,0,0).
=(0,0, ), =(﹣1, ,0),
=(1,0, ), =(3, ,0).
設平面A′MN的法向量為 =(x,y,z),
則 ,即 ,
取 = .
同理可得平面A′BF的法向量 = .
∵ =3﹣3+0=0,∴ ,
∴平面A′MN⊥平面A′BF
(2)解:由(1)可得平面A′BF的法向量 = .
取平面EA′F的法向量 =(0,1,0).
則cos = = =- ,
由圖可知:二面角E﹣A′F﹣B的平面角為銳角,
∴二面角E﹣A′F﹣B的平面角的余弦值為 .
【解析】(1)如圖所示,取BC的中點G,連接MG,則MG⊥EF,利用面面與線面垂直的性質與判定定理可得:MG⊥A′M,又A′M⊥EF,因此可以建立空間直角坐標系.不妨設BC=4.只要證明平面法向量的夾角為直角即可證明平面A′MN⊥平面A′BF.(2)利用兩個平面的法向量的夾角即可得出.
【考點精析】本題主要考查了平面與平面垂直的判定的相關知識點,需要掌握一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓M過C(1,-1),D(-1,1)兩點,且圓心M在x+y-2=0上.
(1)求圓M的方程;
(2)設點P是直線3x+4y+8=0上的動點,PA,PB是圓M的兩條切線,A,B為切點,求四邊形PAMB面積的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設直線l:y=2x+2,若l與橢圓 的交點為A,B,點P為橢圓上的動點,則使△PAB的面積為 的點P的個數(shù)為( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若F1,F2是雙曲線的兩個焦點
(1)若雙曲線上一點M到左焦點F1的距離等于7,求點M到右焦點F2的距離;
(2)若P是雙曲線左支上的點,且|PF1|·|PF2|=32,試求△F1PF2的面積.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知點是圓: 上任意一點,點與圓心關于原點對稱.線段的中垂線與交于點.
(1)求動點的軌跡方程;
(2)設點,若直線軸且與曲線交于另一點,直線與直線交于點,證明:點恒在曲線上,并求面積的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點為,準線為,過點的直線交拋物線于,兩點,過點作準線的垂線,垂足為,當點坐標為時,為正三角形,則此時的面積為____________
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在某海礁A處有一風暴中心,距離風暴中心A正東方向200km的B處有一艘輪船,正以北偏西a(a為銳角)角方向航行,速度為40km/h.已知距離風暴中心180km以內的水域受其影響.
(1)若輪船不被風暴影響,求角α的正切值的最大值?
(2)若輪船航行方向為北偏西45°,求輪船被風暴影響持續(xù)多少時間?
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】橢圓C: =1的右焦點F,過焦點F的直線l0⊥x軸,P(x0 , y0)(x0y0≠0)為C上任意一點,C在點P處的切線為l,l與l0相交于點M,與直線l1:x=3相交于N.
(I) 求證;直線 =1是橢圓C在點P處的切線;
(Ⅱ)求證: 為定值,并求此定值;
(Ⅲ)請問△ONP(O為坐標原點)的面積是否存在最小值?若存在,請求出最小及此時點P的坐標;若不存在,請說明理由.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com