Question

8．等差數列{a_n}，其前n項和為S_n，且S₃₀＞0，S₃₁＜0，則前15項之和最大．

Answer 1

分析 推導出d＜0，-$\frac{29}{2}d$＜a₁＜-15d，S_n=$\fracsfigj0k{2}$（n+$\frac{2{a}_{1}-d}{2d}$）²+$\frac{4{{a}_{1}}^{2}-frux5in^{2}+4{a}_{1}d}{8d}$．由此能求出n=15時，等差數列{a_n}的前n項和S_n取最大值．

解答 解：∵等差數列{a_n}，其前n項和為S_n，且S₃₀＞0，S₃₁＜0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{30{a}_{1}+\frac{30×29}{2}d＞0}\\{31{a}_{1}+\frac{31×30}{2}d＜0}\end{array}\right.$，
∴d＜0，-$\frac{29}{2}d$＜a₁＜-15d，
∴S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}d$=$\frac{{n}^{2}d}{2}$+na₁-$\frac{nd}{2}$
=$\fracz7xi7he{2}$（n²+$\frac{2{a}_{1}}jhwrcou$n-n）
=$\fracvb9tki9{2}$（n+$\frac{2{a}_{1}-d}{2d}$）²+$\frac{4{{a}_{1}}^{2}-d629nmq^{2}+4{a}_{1}d}{8d}$．
∵-$\frac{29}{2}d$＜a₁＜-15d，
∴-$\frac{29}{2}＜\frac{2{a}_{1}-d}{2d}＜-15$，
∴n=15時，等差數列{a_n}的前n項和S_n取最大值．
故答案為：15．

點評 本題考查等差數列的前n項和取最大值時項數n的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數列的性質的合理運用．