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16.已知a>1,設(shè)命題P:a(x-2)+1>0,命題Q:(x-1)2>a(x-2)+1.試求使得P、Q都是真命題的x的集合.

分析 由a的范圍分別求解一元一次不等式及一元二次不等式,然后分1<a<2,a=2及a>2三種情況討論求得使得P、Q都是真命題的x的集合.

解答 解:∵a>1,依題意,求使得P:a(x-2)+1>0,Q:(x-1)2>a(x-2)+1都是真命題的x的集合為P,Q,
P={x|x21a},Q={x|(x-1)2>a(x-2)+1}={x|(x-2)(x-a)>0}.
①當(dāng)1<a<2時,則有{x21ax2xa,而a21a=a+1a20,∴a21a,
即當(dāng)1<a<2時,使得P、Q都是真命題的x的集合為{x|x>2或2-1a<x<a};
②當(dāng)a=2時,可得使得P、Q都是真命題的x的集合為{x|x>32且x≠2};
③當(dāng)a>2時,則有{x21axax2,此時使得P、Q都是真命題的x的集合為{x|x>a或2-1a<x<2}.

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用,考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,是中檔題.

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