Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=4，an+1=qan+d（q，d為常數(shù)）．
（1）當q=1，d=2時，求a2017的值；
（2）當q=3，d=﹣2時，記 ，Sn=b1+b2+b3+…+bn ， 證明： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵數(shù)列{an}滿足a1=4，an+1=qan+d（q，d為常數(shù)）．

∴當q=1，d=2時，an+1﹣an=2，

∴數(shù)列{an}是首項a1=4，公差d=2的等差數(shù)列，

∴an=4+（n﹣1）×2=2n+2，

∴a2017=2×2017+2=4036

（2）證明：當q=3，d=﹣2時，an+1=3an﹣2變形得an+1﹣1=3（an﹣1）

∴數(shù)列{an﹣1}是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，

∴ ，∴ ，

∴數(shù)列{bn}是以 為首項， 為公比的等比數(shù)列，

∴ ，

∴

【解析】（1）當q=1，d=2時，an+1﹣an=2，從而數(shù)列{an}是首項a1=4，公差d=2的等差數(shù)列，由此能求出a2017 ． （2）當q=3，d=﹣2時，an+1=3an﹣2變形得an+1﹣1=3（an﹣1），從而數(shù)列{an﹣1}是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，進而數(shù)列{bn}是以 為首項， 為公比的等比數(shù)列，由此能證明 ．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用數(shù)列的前n項和和數(shù)列的通項公式的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式．