Question

【題目】設(shè) ．有序數(shù)組 經(jīng)m次變換后得到數(shù)組 ，其中 ， （ 1，2， ，n）， ， ．
例如：有序數(shù)組 經(jīng)1次變換后得到數(shù)組 ，即 ；經(jīng)第2次變換后得到數(shù)組 ．
（1）若 ，求 的值；
（2）求證： ，其中 1，2， ，n．（注：當(dāng) 時(shí)， ， 1，2， ，n，則 ．）

Answer 1

【答案】
（1）

解：依題意，

經(jīng)1次變換為： ，

經(jīng)2次變換為： ，

經(jīng)3次變換為： ，

所以 ．

（2）

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì) ， ，其中 ．

（i）當(dāng) 時(shí)， ，其中 ，結(jié)論成立；

（ii）假設(shè) 時(shí)， ，其中 ．

則 時(shí)，

，

所以結(jié)論對(duì) 時(shí)也成立．

由（i）（ii）知， ， ，其中 ．

【解析】（1.）將i=1.2.3..依次代入 ，當(dāng)i=3時(shí)可得到 .
（2.）用數(shù)學(xué)歸納法證明，變換規(guī)律為：前一次的第二個(gè)值通過變換法則b變換后成為下一次變換的第一個(gè)值。