【題目】已知函數(shù),,.
(1)若函數(shù)在上是單調函數(shù),求實數(shù)m的取值范圍;
(2)當時,
(i)求函數(shù)在點處的切線方程;
(ii)若對任意,不等式恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)
(2)(i),(ii)
【解析】
(Ⅰ)求出原函數(shù)的導函數(shù),利用導函數(shù)恒大于等于0或恒小于等于0求解的取值范圍;
(Ⅱ)當時,,,
求得與,再由直線方程的點斜式求解;
證明當,時,,,可得時不等式恒成立,然后利用導數(shù)證明時不等式不成立,則答案可求.
解:(1),
因為函數(shù)在上是單調函數(shù),
所以函數(shù)在上是單調遞增函數(shù)或是單調遞減函數(shù),
即或恒成立,也即或在上恒成立.
當時,,
所以.
(2)當時,,.
(i)因為,所以.
又,所以函數(shù)在點處的切線方程為.
(ii)由(i)知函數(shù)在點處的切線方程為,
下面先證明,.
證明:設函數(shù),,
.
因為,所以,
所以函數(shù)在上單調遞增,又,所以.
所以,.①
接下來證明:當時,.
設函數(shù),則,
所以當時,,所以函數(shù)在上單調遞減.
又,所以,故,.②
依據(jù)①②式可知,當時,顯然成立.
當時,設,
則,
取,,
則.
又因為,由零點存在性判定方法可知:必存在,使得.
當時,,此時單調遞減,又,所以,矛盾.
綜上可知:.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某市政府為了引導居民合理用水,決定全面實施階梯水價,居民用水原則上以住宅為單位(一套住宅為一戶).
階梯級別 | 第一階梯 | 第二階梯 | 第三階梯 |
月用水范圍(噸) |
為了了解全市居民月用水量的分布情況,通過抽樣,獲得了戶居民的月用水量(單位:噸),得到統(tǒng)計表如下:
居民用水戶編號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
用水量(噸) | 7 | 8 | 8 | 9 | 10 | 11 | <>13 | 14 | 15 | 20 |
(1)若用水量不超過噸時,按元/噸計算水費;若用水量超過噸且不超過噸時,超過噸部分按元/噸計算水費;若用水量超過噸時,超過噸部分按元/噸計算水費.試計算:若某居民用水噸,則應交水費多少元?
(2)現(xiàn)要在這戶家庭中任意選取戶,求取到第二階梯水量的戶數(shù)的分布列與期望;
(3)用抽到的戶家庭作為樣本估計全市的居民用水情況,從全市依次隨機抽取戶,若抽到戶月用水量為第一階梯的可能性最大,求的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】關于函數(shù),下列判斷正確的是( )
A. 有最大值和最小值
B. 的圖象的對稱中心為()
C. 在上存在單調遞減區(qū)間
D. 的圖象可由的圖象向左平移個單位而得
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】由于當前學生課業(yè)負擔較重,造成青少年視力普遍下降,現(xiàn)從湖口中學隨機抽取16名學生,經(jīng)校醫(yī)用視力表檢查得到每個學生的視力狀況的莖葉圖(以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖,小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉)如下:
(1)指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù);
(2)若視力測試結果不低于5.0則稱為“好視力”,求校醫(yī)從這16人中選取3人,至多有1人是“好視力”的概率;
(3)以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個學校的總體數(shù)據(jù),若從該校(人數(shù)很多)任選3人,記表示抽到“好視力”學生的人數(shù),求的分布列及數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)若,,求函數(shù)在處的切線方程;
(2)若,且是函數(shù)的一個極值點,確定的單調區(qū)間;
(3)若,且對任意,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知點在圓:上運動,點在軸上的投影為,動點滿足.
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)過點的動直線與曲線交于、兩點,問:在軸上是否存在定點使得的值為定值?若存在,求出定點的坐標及該定值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知鮮切花的質量等級按照花枝長度進行劃分,劃分標準如下表所示.
花枝長度 | |||
鮮花等級 | 三級 | 二級 | 一級 |
某鮮切花加工企業(yè)分別從甲乙兩個種植基地購進鮮切花,現(xiàn)從兩個種植基地購進的鮮切花中分別隨機抽取30個樣品,測量花枝長度并進行等級評定,所抽取樣品數(shù)據(jù)如圖所示.
(1)根據(jù)莖葉圖比較兩個種植基地鮮切花的花枝長度的平均值及分散程度(不要求計算具體值,給出結論即可);
(2)若從等級為三級的樣品中隨機選取2個進行新產(chǎn)品試加工,求選取的2個全部來自乙種植基地的概率;
(3)根據(jù)該加工企業(yè)的加工和銷售記錄,了解到來自乙種植基地的鮮切花的加工產(chǎn)品的單件利潤為4元;來自乙種植基地的鮮切花的加工產(chǎn)品的單件成本為10元,銷售率(某等級產(chǎn)品的銷量與產(chǎn)量的比值)及單價如下表所示.
三級花加工產(chǎn)品 | 二級花加工產(chǎn)品 | 一級花加工產(chǎn)品 | |
銷售率 | |||
單價/(元/件) | 12 | 16 | 20 |
由于鮮切花加工產(chǎn)品的保鮮特點,未售出的產(chǎn)品均可按原售價的50%處理完畢.用樣本估計總體,如果僅從單件產(chǎn)品的利潤的角度考慮,該鮮切花加工企業(yè)應該從哪個種植基地購進鮮切花?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】年月日,國務院總理李克強在做政府工作報告時說,打好精準脫貧攻堅戰(zhàn).江西省貧困縣脫貧摘帽取得突破性進展:年,穩(wěn)定實現(xiàn)扶貧對象“兩不愁、三保障”,貧困縣全部退出.圍繞這個目標,江西正著力加快增收步伐,提高救助水平,改善生活條件,打好產(chǎn)業(yè)扶貧、保障扶貧、安居扶貧三場攻堅戰(zhàn).為響應國家政策,老張自力更生開了一間小型雜貨店.據(jù)長期統(tǒng)計分析,老張的雜貨店中某貨物每天的需求量在與之間,日需求量(件)的頻率分布如下表所示:
己知其成本為每件元,售價為每件元若供大于求,則每件需降價處理,處理價每件元.
(1)設每天的進貨量為,視日需求量的頻率為概率,求在每天進貨量為的條件下,日銷售量的期望值(用表示);
(2)在(1)的條件下,寫出和的關系式,并判斷為何值時,日利潤的均值最大.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】定義在上的函數(shù),若滿足:對任意,存在常數(shù),都有成立,則稱是上的有界函數(shù),其中稱為函數(shù)的上界
(1)設,判斷在上是否是有界函數(shù),若是,說明理由,并寫出所有上界的值的集合;若不是,也請說明理由.
(2)若函數(shù)在上是以為上界的有界函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
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