Question

【題目】已知點在圓：上運動，點在軸上的投影為，動點滿足．

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）過點的動直線與曲線交于、兩點，問：在軸上是否存在定點使得的值為定值？若存在，求出定點的坐標(biāo)及該定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在定點，使得的值為定值．

【解析】

（1）由，得，設(shè)，，，由向量等式可得，，代入圓：，可得動點的軌跡的方程為；

（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，并設(shè)點的坐標(biāo)為，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算計算的值為定值，通過化簡計算得出的值，從而說明定點的存在性．

（1）由，得，

設(shè)，，，

則，

∴，，

代入圓：，可得，即．

∴動點的軌跡的方程為；

（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，

聯(lián)立，消去得，，

，，

假設(shè)在軸上存在定點使得的值為定值，

而，，

為定值，

則，解得，

且此時．

因此，在軸上存在定點，使得的值為定值．