【題目】已知函數(shù),.
(1)若,,求函數(shù)在處的切線方程;
(2)若,且是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn),確定的單調(diào)區(qū)間;
(3)若,且對(duì)任意,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1);(2)當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為;當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為;(3).
【解析】
(1)求得和后,即可利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到所求的切線方程;
(2)根據(jù)極值點(diǎn)的定義可確定,由此可得,分別在和兩種情況下根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)將恒成立的不等式化為,①當(dāng)時(shí),由恒成立可知,滿足題意;②當(dāng)時(shí),由時(shí)可知,滿足題意;由零點(diǎn)存在定理可驗(yàn)證出和時(shí)存在的區(qū)間,不滿足題意;綜合幾種情況可得最終結(jié)果.
(1)當(dāng),時(shí),,
則,,,
在處的切線方程為,即.
(2)當(dāng)時(shí),,,
是的一個(gè)極值點(diǎn),,,
,
令,解得:,,
是一個(gè)極值點(diǎn),,即,
①當(dāng),即時(shí),
若和,;若,,
的單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為;
②當(dāng),即時(shí),
若和,;若,,
的單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為;
綜上所述:當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為;當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為.
(3)當(dāng),時(shí),對(duì)任意恒成立,
即對(duì)任意恒成立.
令,
則,
,,
①當(dāng)時(shí),對(duì)任意,恒成立,
在上單調(diào)遞減,,滿足題意;
②當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,,
⑴當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,
,
i.當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,
,滿足題意;
ii.當(dāng)時(shí),由,,
,使得,則在上單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),,不滿足題意;
⑵當(dāng)時(shí),由,當(dāng)時(shí),,
,使得,在上恒成立,
在上單調(diào)遞增,,
在上單調(diào)遞增,,不滿足題意;
綜上所述:實(shí)數(shù)的取值范圍為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)求的單調(diào)區(qū)間;
(3)若對(duì)于任意,都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】為了研究國(guó)民收入在國(guó)民之間的分配,避免貧富過分懸殊,美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家勞倫茨提出了著名的勞倫茨曲線,如圖所示.勞倫茨曲線為直線時(shí),表示收入完全平等,勞倫茨曲線為折線時(shí),表示收入完全不平等.記區(qū)域為不平等區(qū)域,表示其面積,為的面積.將,稱為基尼系數(shù).對(duì)于下列說法:
①越小,則國(guó)民分配越公平;
②設(shè)勞倫茨曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)為,則對(duì),均有;
③若某國(guó)家某年的勞倫茨曲線近似為,則;
其中正確的是:( )
A.①②B.①③C.②③D.①②③
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【題目】如圖,在直三棱柱中, 、分別為、的中點(diǎn), , .
(1)求證:平面平面;
(2)若直線和平面所成角的正弦值等于,求二面角的平面角的正弦值.
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【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的普通方程為在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線l的極坐標(biāo)方程為.Ⅰ寫出圓C的參數(shù)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程;Ⅱ設(shè)直線l與x軸和y軸的交點(diǎn)分別為A、B,P為圓C上的任意一點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,.
(1)若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)當(dāng)時(shí),
(i)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;
(ii)若對(duì)任意,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為,在以O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線l的極坐標(biāo)方程為.
(1)設(shè)曲線C與直線l的交點(diǎn)為A、B,求弦AB的中點(diǎn)P的直角坐標(biāo);
(2)動(dòng)點(diǎn)Q在曲線C上,在(1)的條件下,試求△OPQ面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓與拋物線有共同的焦點(diǎn),且兩曲線的公共點(diǎn)到的距離是它到直線 (點(diǎn)在此直線右側(cè))的距離的一半.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),直線過點(diǎn)且與橢圓交于兩點(diǎn),以為鄰邊作平行四邊形.是否存在直線,使點(diǎn)落在橢圓或拋物線上?若存在,求出點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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