Question

如圖，已知圓O的直徑AB=4，定直線L到圓心的距離為4，且直線L⊥直線AB。點(diǎn)P是圓O上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線PA、PB分別交L與M、N點(diǎn)。試建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，解決下列問(wèn)題：

（1）若∠PAB=30°，求以MN為直徑的圓方程；
（2）當(dāng)點(diǎn)P變化時(shí)，求證：以MN為直徑的圓必過(guò)圓O內(nèi)的一定點(diǎn)。

Answer 1

（1）；（2）詳見答案。

解析
試題分析：（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，⊙O的方程為，直線L的方程為�！�…2分
（1）∵∠PAB=30°，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
∴，。將x=4代入，
得                   ……4分
。∴MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），MN=。                      ……6分
∴以MN為直徑的圓的方程為。同理，當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，所求圓的方程仍是。                                    ……8分
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∴（），∴。
∵，將x=4代入，得，。                                        ……10分
∴，MN=。MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為。                                             ……12分
以MN為直徑的圓截x軸的線段長(zhǎng)度為
為定值。
∴⊙必過(guò)⊙O 內(nèi)定點(diǎn)。                         ……16分
考點(diǎn)：本題考查了用解析法求圓的方程及性質(zhì)。
點(diǎn)評(píng)：用待定系數(shù)法求圓的方程要注意兩點(diǎn)：第一，究竟用標(biāo)準(zhǔn)方程還是一般方程要根據(jù)題設(shè)條件選擇，選擇得當(dāng)，解法就簡(jiǎn)捷，選擇不當(dāng)，會(huì)增加解答的難度；第二，要注意適時(shí)運(yùn)用幾何知識(shí)列方程，這樣可能大大減少運(yùn)算量．