如圖,已知圓O的直徑AB=4,定直線L到圓心的距離為4,且直線L垂直直線AB.點P是圓O上異于A、B的任意一點,直線PA、PB分別交L與M、N點.
(Ⅰ)若∠PAB=30°,求以MN為直徑的圓方程;
(Ⅱ)當點P變化時,求證:以MN為直徑的圓必過圓O內(nèi)的一定點.
分析:(Ⅰ)建立如圖所示的直角坐標系,由條件求得M、N兩點的坐標,即可求得以MN為直徑的圓的方程.
(Ⅱ)設(shè)點P的坐標為(x0,y0),求得 M(4,
6y0
x0+2
)、N(4,
2y0
x0-2
),以及MN的值,求得MN的中點,
坐標為(4,
4(x0-1)
y0
),由此求得以MN為直徑的圓截x軸的線段長度為 2
4(x0-4)2
y02
-
16(x0-1)2
y02
,化簡可得結(jié)果.
解答:解:(Ⅰ)以AB所在的直線為x軸,以AB的垂直平分線為y軸,建立如直角坐標系,
由于⊙O的方程為x2+y2=4,直線L的方程為x=4,∠PAB=30°,∴點P的坐標為(1,
3
),
∴l(xiāng)AP:y=
3
3
 (x+2),lBP:y=-
3
(x-2).
將x=4代入,得M(4,2
3
),N(4,-2
3
).
∴MN的中點坐標為(4,0),MN=4
3
.∴以MN為直徑的圓的方程為(x-4)2+y2=12.
同理,當點P在x軸下方時,所求圓的方程仍是 (x-4)2+y2=12.…(6分)
(Ⅱ)設(shè)點P的坐標為(x0,y0),則 x02+y02=4 (y0≠0),∴y02=4-x02
∵直線AP:y=
y0
x0+2
(x+2),直線BP:y=
y0
x0-2
(x-2),將x=4代入,得 yM=
6y0
x0+2
,yN=
2y0
x0-2

∴M(4,
6y0
x0+2
)、N(4,
2y0
x0-2
),MN=|
6y0
x0+2
-
2y0
x0-2
|=
4|x0-4|
|y0|

故MN的中點坐標為(4,
4x0-4
y0
 ).
以MN為直徑的圓截x軸的線段長度為 2
4(x0-4)2
y02
-
16(x0-1)2
y02
=
4
|y0|
12-3x02

=
4
3
|y0|
4-x02
=
4
3
|y0|
| y0|
=4
3
 為定值.
再根據(jù)以MN為直徑的圓O′的半徑為2
3
,AB的中點O到直線MN的距離等于4,故O′為線段MN的中點,
可得⊙O′必過⊙O 內(nèi)定點(4-2
3
,0).
點評:本題主要考查求圓的標準方程,直線和圓的位置關(guān)系,點到直線的距離公式,屬于中檔題.
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如圖,已知圓O的直徑AB長度為4,點D為線段AB上一點,且AD=
1
3
DB
,點C為圓O上一點,且BC=
3
AC
.點P在圓O所在平面上的正投影為點D,PD=BD.
(Ⅰ)求證:CD⊥平面PAB;
(Ⅱ)求PD與平面PBC所成的角的正弦值.

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(2013•佛山一模)如圖,已知圓O的直徑AB長度為4,點D為線段AB上一點,且AD=
1
3
DB
,點C為圓O上一點,且BC=
3
AC
.點P在圓O所在平面上的正投影為點D,PD=BD.
(1)求證:CD⊥平面PAB;
(2)求點D到平面PBC的距離.

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(本題12分)

如圖,已知圓O的直徑AB=4,定直線L到圓心的距離為4,且直線L垂直直線AB。點P是圓O上異于A、B的任意一點,直線PA、PB分別交L與M、N點。

(Ⅰ)若∠PAB=30°,求以MN為直徑的圓方程;

(Ⅱ)當點P變化時,求證:以MN為直徑的圓必過圓O內(nèi)的一定點。

 

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