(本題12分)

如圖,已知圓O的直徑AB=4,定直線L到圓心的距離為4,且直線L垂直直線AB。點(diǎn)P是圓O上異于A、B的任意一點(diǎn),直線PA、PB分別交L與M、N點(diǎn)。

(Ⅰ)若∠PAB=30°,求以MN為直徑的圓方程;

(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)P變化時(shí),求證:以MN為直徑的圓必過圓O內(nèi)的一定點(diǎn)。

 

【答案】

(Ⅰ);(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為, MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為。

以MN為直徑的圓截x軸的線段長(zhǎng)度為

為定值!唷必過⊙O 內(nèi)定點(diǎn)

【解析】

試題分析:建立直角坐標(biāo)系,⊙O的方程為,……2分

直線L的方程為。

(Ⅰ)∵∠PAB=30°,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為

,。將x=4代入,得。

∴MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),MN=!嘁訫N為直徑的圓的方程為。

同理,當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí),所求圓的方程仍是!6分

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,∴),∴

,將x=4代入,得,

!,MN=。

MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為!10分

以MN為直徑的圓截x軸的線段長(zhǎng)度為

為定值!唷必過⊙O 內(nèi)定點(diǎn)。……12分

考點(diǎn):圓的方程的求法;直線與圓的位置關(guān)系;直線方程的點(diǎn)斜式。

點(diǎn)評(píng):要求圓的方程,只需確定圓心和半徑即可。本題的計(jì)算量較大,在計(jì)算的過程中一定要仔細(xì)、認(rèn)真,避免出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤。

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(本題12分)如圖,在側(cè)棱錐垂直底面的四棱錐ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,

AD⊥AB,AB=。AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1的中點(diǎn),F(xiàn)是平面B1C1E

與直線AA1的交點(diǎn)。

(1)證明:(i)EF∥A1D1

(ii)BA1⊥平面B1C1EF;

(2)求BC1與平面B1C1EF所成的角的正弦值。

 

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(本題12分)如圖所示,在直四棱柱中, ,點(diǎn)是棱上一點(diǎn).

(1)求證:;

(2)求證:;

 

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((本題12分)如圖所示,在直四棱柱中, ,點(diǎn)是棱上一點(diǎn)

(1)求證:;

(2)求證:

 

 

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(本題12分)如圖1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CDAB,AB=4,ADCD=2,M為線段AB的中點(diǎn),將△ACD沿折起,使平面ACD⊥平面ABC,得到幾何體DABC,如圖2所示.

(Ⅰ)求證:BC⊥平面ACD;

(Ⅱ)求二面角ACDM的余弦值.

 

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((本題12分)如圖2,在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中,點(diǎn)E、F、G分別是DD1、BD、BB1的中點(diǎn)。

(Ⅰ)求直線EF與直線CG所成角的余弦值;

 (Ⅱ)求直線C1C與平面GFC所成角的正弦值;

     (Ⅲ)求二面角E—FC—B的余弦值。

 

 

 

 

 

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