如圖,AB是圓O的直徑,C,D是圓O上兩點,AC與BD相交于點E,GC,GD是圓O的切線,點F在DG的延長線上,且。求證:
(Ⅰ)D、E、C、F四點共圓; (Ⅱ)
(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)詳見解析.
解析試題分析:(Ⅰ)依據已知條件尋求出∠DGC、∠F、∠CAB+∠DBA的關系,借助對角互補證明D,E,C,F四點共圓;(Ⅱ)結合(Ⅰ)的結果進一步得到點G是經過D,E,C,F四點的圓的圓心,所以∠GCE=∠GEC,延長GE,繼而證明∠AEH+∠CAB=90°即可.
試題解析:(Ⅰ)如圖,連結OC,OD,則OC⊥CG,OD⊥DG,
設∠CAB=∠1,∠DBA=∠2,∠ACO=∠3,
則∠COB=2∠1,∠DOA=2∠2.
所以∠DGC=180°-∠DOC=2(∠1+∠2).
因為∠DGC=2∠F,所以∠F=∠1+∠2.
又因為∠DEC=∠AEB=180°-(∠1+∠2),
所以∠DEC+∠F=180°,所以D,E,C,F四點共圓.
(Ⅱ)延長GE交AB于H.
因為GD=GC=GF,所以點G是經過D,E,C,F四點的圓的圓心.
所以GE=GC,所以∠GCE=∠GEC.
又因為∠GCE+∠3=90°,∠1=∠3,
所以∠GEC+∠3=90°,所以∠AEH+∠1=90°,
所以∠EHA=90°,即GE⊥AB.
考點:1、四點共圓;2、圓的切線的性質.
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
如圖,在△ABC中,CD是∠ACB的平分線,△ACD的外接圓交于BC于點E,AB=2AC.
(Ⅰ)求證:BE=2AD;
(Ⅱ)當AC=1,EC=2時,求AD的長.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分10分)選修4-1:幾何證明講 如圖,AB是⊙O的直徑,弦BD、CA的延長線相交于點E,EF垂直BA的延長線于點F.
求證:(1);
(2)AB2=BE•BD-AE•AC.
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